Determine si la integral converge o diverge
1. Integral de 0 al infinito de [1 / (x * ln^2 * x)]dx
*= por
^=elevado
Tengo una pequeña duda sobre una pregunta anterior: si dt= (dx / 2 *raíz de (x))
porque ala hora de despejar dx, queda (dx / x)= 2dt, porque se elimino la raíz de x como sucedió? http://www.todoexpertos.com/mitodoexpertos/question/uoorhssfixi4k/determine-si-la-integral-diverge-o-converge
1 Respuesta
Tienes toda la razón del mundo en tener esa duda, tuve un fallo muy gordo ahí.
$$\begin{align}&\int_1^{\infty}\frac{dx}{x(1+\sqrt x)}=\\ &\\ &\\ &t=\sqrt x\\ &dt =\frac{dx}{2 \sqrt x}\implies dt=\frac{dx}{2t}\implies dx=2tdt\\ &\\ &\\ &x=1 \implies t=1\quad \quad x=\infty\implies t=\infty\\ &\\ &\\ &=\int_1^{\infty}\frac{2tdt}{t^2(1+t)}= 2\int_1^{\infty} \frac{dt}{t(1+t)}=\\ &\\ &a(t+1)+bt = 1\implies a=1;\;b=-1\\ &\\ &=2\int_1^{\infty} \left(\frac 1t-\frac{1}{1+t}\right)dt\\ &\\ &\\ &2\left[lnt-ln(1+t) \right]_1^{\infty}=\\ &\\ &2\left[ ln\left(\frac{t}{1+t} \right)\right]_1^{\infty}=\\ &\\ &\\ &2\left[\lim_{t\to\infty} ln\left(\frac{t}{1+t}\right)-ln \frac 12\right]=\\ &\\ &\\ &2\left(ln1-ln \frac 12\right)=-2ln \frac 12=\\ &\\ &ln \left[\left(\frac 12\right)^{-2}\right]=ln4\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Luego la integral era convergente. MIl perdones por el fallo.
Ahora no puedo hacer la de este ejercicio, pasaran muchas horas hasta que pueda volver a ponerme con el ordenador. No obstante aclárame que no estoy seguro de la expresión.
$$\frac{1}{x(lnx)^2}$$O si es otra, intenta escribirla de forma que lo entienda.
Bueno solo el logaritmo natural esta elevado a la 2, el x no!
así= 1 / (x * ln^2 * x)
* CORRECCIÓN! Me equivoque a la hora de escribir la integral, pues va de 0 a 1/e, y no al infinito como escribí anteriormente!
Es que esa notación no existe. Solo las funciones trigonométricas pueden tener el exponente después del nombre y antes de la variable. En el resto de las funciones se encierra todo entre paréntesis y se pone el exponente detrás. Y lo que no puede haber es una función sin argumento ln^2 sin más no puede escribirse. Si a esto añadimos que algunas funciones no necesitan el paréntesis encerrando el argumento cuando es simple puede haber algún lio
Cuando yo escribo lnx quiero decir ln(x)
Entonces interpreto que lo que tu quieres decir no puede ser otra cosa que esto
$$\begin{align}&\int_0^{1/e}\frac {dx}{x[ln(x)]^2}\\ &\\ &\text{Que por ahorrar paréntesis molestos es}\\ &\\ &\int_0^{1/e}\frac {dx}{x(lnx)^2}\\ &\\ &\text{en algunos programas te dejarían escribir}\\ &\\ &\int_0^{1/e}\frac {dx}{x·ln(x)^2}\end{align}$$Y dicho todo esto hay que decidirse por una y será esta
(Lnx)^2 que quiere decir (logaritmo neperiano de x) elevado al cuadrado. Es decir, calcular el logaritmo y eso elevarlo al cuadrado.
$$\begin{align}&\int_0^{1/e}\frac{dx}{x(lnx)^2}=\\ &\\ &t=lnx \implies dt =\frac{dx}{x}\\ &x=0\implies t=-\infty\\ &x=1/e\implies t=-1\\ &\\ &=\int_{-\infty}^{-1}\frac{dt}{t^2}=-\left[\frac 1t \right]_{\infty}^{-1}=1\\ &\end{align}$$Luego la integral es convergente.
Y eso es todo.
