Integrales indefinidas como encontrarlas

Esta es una integral de funciones potenciales tienen todas esta fórmula

$$\begin{align}&\int x^r dx = \frac{x^{r+1}}{r+1}+C\end{align}$$

Y la única dificultad es cuando r es un numero no entero y cuando no nos ponen dierectamente el r sino que hay que calcularlo de raíces que además pueden estar en los denominadores, etc. UNa vez conseguida la expresión como x^r se ujsa esa fórmula y ya está.

$$\begin{align}&\int(4x^5+\sqrt[3]{3x}+\frac{1}{x^2\sqrt{x}})dx=\\ &\\ &\int(4x^5 +(3x)^{\frac 13}+x^{-\frac 52})=\\ &\\ &\text {hay que tener cuidado con el segundo sumando}\\ &\\ &=\int(4x^5 +3^{\frac 13}·x^{\frac 13}+x^{-\frac 52})=\\ &\\ &4·\frac{x^6}{6}+\sqrt[3]3·\frac{x^{\frac 43}}{\frac 43}+ \frac{x^{-\frac 32}}{-\frac 32}+C=\\ &\\ &\frac 23x^6+\frac{3 \sqrt[3]3}{4}\sqrt[3]{x^4}-\frac 23x^{-\frac 32}+C=\\ &\\ &\text{Y sobre la forma final de dejarol hay mil teorías}\\ &\text {la que de verda me gusta a mí es esta}\\ &\\ &\frac{2x^6}{3}+\frac{3x \sqrt[3]{3x}}{4}-\frac{2}{3x \sqrt{x}}+C\end{align}$$

Pero a lo mejor a alguien no le gusta esa forma, sobre todo lo de la raíz del último denominador.