¿Quién se hace cargo de las costas?

MI consulta hace referencia a un procedimiento que empezó hace un par de años. La primera sentencia el fallo decía " desestimando íntegramente la demanda interpuesta por... Todo ello, con expresa condena en costas a la parte actora." Yo fui en este caso la parte actora. Como no estuviomos de acuerdo con la sentencia se interpuso un recurso de apelación. En este recurso, la decisión fue la siguiente: estimando el recurso de apelación formulado por la representante procesal de ... Se revolcá la resolución y : de acepta la demanda. Se imponen las costas de la primera instancia la parte demandada X. Y no se condena en las costas de esta instancia a ninguno de los ligitantes.
MI consulta hace referencia ha que según esto yo entiendo que las minutas de mi abogado las pago yo, y del resto me olvido, ¿pero mi abogado me ha comentado que tengo una factura pendiente de 1700? De la primera sentencia que debo pagar por perder el juicio la primera vez. ¿Esto es posible?, ¿Yo tengo que pagar a mi abogado y al contrario cuando la última sentencia me da la razón?
Necesito que me aclaréis un poco los conceptos, ya que no entiendo nada y no estoy muy puesta en estos temas
Muchas gracias por vuestra atención

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