Pregunta de geometría

Se considera que las posiciones relativas de dos rectas son cuatro.

1) Coincidentes

2) Paralelas

3) Se cortan

4) Se cruzan

La forma de comprobarlo no es única, depende como te hayan enseñado o como seas capaz de deducirlo. A mí ya se me olvidó cómo me lo enseñaron.

Calculare el vector de r1

u = B-A = (1,0,1)

Ahora calcularé el vector director de r2 que es el perpendicular a los vectores directores de los dos planos y se calcula haciendo el producto vectorial de estos.

|i  j  k|
|2  1 -1|= -2i + j -3k 
|1 -1 -1|

v= (-2, 1, -3)

Luego r1 y r2 no son paralelos y descartamos que sean coincidentes y paralelas

Ahora veamos si tienen algún punto común

La recta r1 tiene puntos de la forma

(0, 1, -1) + t(1, 0, 1) = (t, 1, t-1)

Veamos la intersección con los dos planos que determinan r2

2t +1 -(t-1) -1 = 0 ==> 2t+1-t+1-1=0 ==> t =-1

t -1 -(t-1)+1=0 ==> t-1-t+1+1= 0 ==> 0t = -1 No hay corte

No corta a la recta porque no corta a uno de los planos. Tampoco la cortaría si hubiese sido distinto el valor t de corte con los dos planos.

Luegoo las rectas se cruzan.

La distancia se calcula mediante una fórmula

$$d(r_1,r_2)=\frac{|\;[\vec{AC},\vec{u},\vec{v}]\;|}{|\vec{u}\times\vec{v}|}$$

Donde [AC, u, v] es el producto mixto. El vector AC que es el vector entre el punto A de r1 y el punto C de r2. u y v son los vectores directores de la recta.

Nos falta hallar un punto C de r2

2x + y - z - 1 = 0

x - y - z + 1 = 0

Hagamos x= 0 por ejemplo y luego sumemos las dos ecuaciones

-2z = 0

0+y-0-1=0

y = 1

Luego el punto es (0, 1, 0)

Y el vector AC será C-A = (0, 1, 0) - (0, 1, -1) = (0, 0, 1)

El producto mixto [AC, u, v] es

| 0  1  0|
| 1  0  1| = -2+3 =-1
|-2  1 -3| 

Su módulo es 1

Y el producto vectorial u x v es

| i  j  k|
| 1  0  1| = -i + j + k
|-2  1 -3|

u x v = (-1, 1, 1)

Y el módulo es sqrt(3)

Luego el resultado de la formula es

d(r1, r2) = 1/sqrt(3) = sqrt(3) / 3

Y eso es todo.