Raíces de diferente índice

El ejercicio me parece que no está bien escrito.

Te diré que en el editor de ecuaciones, cuando quieres escribir más de un carácter en el radicando, tienes que escribir el radicando entre corchetes.

Creo que querías escribir esto

$$\sqrt{2x}·\sqrt[4]{x^3}$$

Eso se escribe así:

sqrt{2x}·sqrt[4]{x^3}

Y supongo que que quieres es dejarlo todo en un solo exponente o radicando.

Lo que hay que hacer es pasar los radicales a notación exponencial y efectuar las operaciones. Al final si se quiere se vuelve a expresar el resultado como radicales.

$$\begin{align}&\sqrt{2x}·\sqrt[4]{x^3} =\sqrt 2·x^{\frac{1}{2}}·x^{\frac{3}{4}}=\sqrt 2·x^{\left ( \frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)} =\\ &\\ &\\ &\sqrt 2·x^{\left ( \frac{2+3}{4}\right)}=\sqrt 2·x^{\left ( \frac{5}{4}\right)}=\sqrt 2 \sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4]{4x^5}\end{align}$$

Si he acertado al interpretar el enunciado esa es la repuesta. Si no acerté en el enunciado o no has entendido algún paso pídeme explicaciones. No las doy detalladas porque no sé hasta qué punto las necesitas y para que te sirva de ejercicio el deducirlas.

Si, es como usted lo escribió, fui yo quien me confundí con la expresión. Tengo una duda respecto a esto

$$\sqrt[4]{4x^5}$$

No entiendo porque queda el 4 al final?

Cuando tenemos un número fuera de un radical podemos introducirlo dentro elevando ese número a la potencia inversa del radical. Asi para meter un número dentro de una raíz cuadrada se eleva al cuadrado, dentro de una raíz cúbica se eleva al cubo y dentro de una raíz cuarta se eleva a la cuarta.

$$\begin{align}&2=\sqrt 4\\ &3=\sqrt[3]{27}\\ &3=\sqrt[4]{81}\end{align}$$

Nosotros teníamos la raíz de 2 fuera del radical de la raíz cuarta y he pensado que estaría bien meterlo dentro porque quedaba más simplificado todo metido dentro de un solo. Entonces la raíz de dos debe ser elevada a la cuarta para meterla dentro.

Lo hacemos en dos pasos, elevar a la cuarta es elevar dos veces al cuadrado. Al elevar la primera vez queda 2 y al elevar por segunda vez queda ese 4 que lo metemos dentro.

$$(\sqrt 2)^4 = ((\sqrt 2)^2)^2 = 2^2=4$$