Inecuación valor absoluto con un resultado imaginario
Ante todo buen dia, gracias de antemano a aquel que me pueda ayudar a confirmar la solución de este ejercicio que a pesar de ser simple tengo una confusión en cuanto a si es valido el método que aplico.
|x² - 2x + 1| < 2
al ser valor absoluto debe resolver dos casos diferentes
x²-2x+1<2 ; Si X >= 0 y x²-2x+1>-2 ; Si X < 0
x²-2x-1<0 | x²-2x+3>0
(Busco las raíces de ambas ecuaciones cuadráticas mediante el uso de la resolvente)
Para el primer caso:
$$\begin{align}&[-(-2)±v[(-2)²-(4*1*-1)]]/2*1=\\ &[2±v[4+4]]/2=\\ &[2±v8]/2=\\ &[2±2v2]/2=\\ &1±v2\end{align}$$Dando como resultado que [x-(1+v2)]*[x-(1-v2)]=0
Para el segundo caso:
$$\begin{align}&X=[-(-2)±v[(-2)²-(4*1*3)]]/2*1=\\ &X=[2±v[4-12]]/2=\\ &X=[2±v-8]/2=\\ &X=[2±iv8]/2=\\ &X=[2±2iv2]/2=\\ &X=1±iv2\end{align}$$En este caso la respuesta no pertenece al conjunto de los números reales lo que haría al conjunto vacío en R
Por tanto solo se tomaría en cuenta la respuesta del primer caso a la cual se le aplicaría el "método del cementerio" para determinar el conjunto solución entre los intervalos resultantes y la otra se descartaría por su irrelevancia a la hora de unir o intersectar soluciónes que para este caso seria intersección.
-8 (1-v2) (1+v2) 8
x-(1+v2) | - | - | + |
---------------------------------------------------------------------
x-(1-v2) | - | + | + |
----------------------------------------------------------------------
[x-(1+v2)][x-(1+v2)] | + | - | + |
Ya que el símbolo presente en la inecuación original es el de < se tomaran en cuenta los números menores a cero es decir los negativos por tanto...
El conjunto solución seria
Solucion:( 1-v2, 1+v2 )
1 Respuesta
El planteamiento inicial no es correcto.
No es una inecuación para x< 0 y la otra para x>0. Son dos ecuaciones cuya solución puede tener una parte menor y otra mayor que cero cada una, no se debe restringir ninguna parte de la respuesta en principio. Es después cuando la solución será la intersección de ambas.
No obstante no se ha dado el caso de que te haya salido mal por eso.
La primera inecuación es
x^2-2x+1<2
x^2-2x-1<0
Para resolverla calculamos las raíces de
x^2-2x-1=0
La forma correcta de expresar las raíces cuadradas en todos los programas de cálculo y gráficas es con sqrt(), la v es el nombre de una variable y crea confusión
x = [2+-sqrt(4+4)]/2 = [2+-sqrt(8)]/2 = [2+-2sqrt(2)]/2 = 1+-sqrt(2)
No he oído nunca eso del "método del cementerio"
En el intervalo (-oo, 1-sqrt(2)) es positiva porque en el -oo tiende a +oo
En el intervalo (1-sqrt(2), 1+sqrt(2)) es negativa porque tomado el valor x=0 tenemos y=-1
En el intervalo (1+sqrt(2), +oo) es positiva porque el limite en +oo es +oo
Como la inecuación era menor que cero la solución de la primera es
(1-sqrt(2), 1+sqrt(2))
La segunda inecuación es
x^2 - 2x + 1 > -2
x^2 - 2x + 3 > 0
Y las raíces son
x = [2 +- sqrt(4-12)]/2 = [2+-sqrt(-8)]/2
No es necesario simplificar más, no hay soluciones reales. Eso significa que la inecuación se cumple siempre o no se cumple nunca. Tomamos el valor x= 0 y tendremos
0^2 - 2·0 + 3 = 3 >0
Luego se cumple siempre y la solución de la segunda inecuación es
(-oo, +oo)
Y finalmente la solución es la intesección
(1-sqrt(2), 1+sqrt(2)) n (-oo, +oo) =
(1-sqrt(2), 1+sqrt(2))
Y eso es todo, lo tenías bien pero algunos razonamientos estaban mal.
Espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para tener derecho a futuras consultas.
