La primera se resuelve por cambio de variable. En este caso va a ser más sencillo hacer la indefinida, deshacer el cambio y evaluar que hacer directamente la definida con cambio de límites
$$\begin{align}&\int \frac{e^{\frac 1x}}{x^2}dx=\\ &\\ &t = e^{\frac 1x}\quad dt= e^{\frac 1x}\left(-\frac{1}{x^2}\right)dx= -\frac{e^{\frac 1x}}{x^2}\\ &\\ &\text {y el cambio lo deja tan sencillo como}\\ &\\ &= \int -dt = -t = -e^{\frac 1x}\\ &\\ &\text{y ahora lo avaluamos entre 1 y 2}\\ &\\ &\left. -e^{\frac 1x} \right|_1^2= -e^{\frac 12}+e^1= e-\sqrt e\\ &\\ &\approx 1.069560558\end{align}$$
En la segunda integral no tengo claro lo que has querido poner. Por favor, dime cual de estas dos cosas has querido poner
$$\begin{align}&1)\quad ln(x^4)\\ &\\ &2)\quad (ln\,x)^4\end{align}$$