¿ Me puedes ayudar hacer este ejercicio? Estoy atorado

Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio p(x) existe en que pertenece tal que d^n / dx^n [p(x) ]=0 para todo x que pertenece, gracias po tu atención.

1 respuesta

Respuesta
1

Lo de usar inducción matemática ¿te lo exige el ejercicio o lo has supuesto tú? Es que hay algunos problemas cuya demostración no es por inducción y es infructuoso intentarlo.

Hola nuevamente, definitivamente me lo exige el ejercicio, por tu atención gracias.

Pues lo que demostraremos es lo siguiente.

Si p(x) es un polinomio de grado m entonces el grado de la derivada enésima es:

m-n si m>n

0 si m<=n

que puede expresarse de forma única en términos del máximo

máx(m-n, 0)

Se puede empezar con n=0 o con n=1.

La derivada 0 es la propia función por que el grado de la función y la derivada son m y m-0=m

Si empezamos con la derivada 1 por la regla de derivación de la función f(x) = x^k tendremos

(x^k)' = k·x^(k-1) si k>0

(x^0)' = 0

La derivada primera de un monomio c·x^k será

c·k·x^(k-1) si k>0

0 si k=0

Y la derivada de la suma será la suma de las derivadas de todos los monomios.

Luego el grado de la derivada primera un polinomio de grado m será

máx(m-1, 0)

Ya está demostrado que se cumple para n=1, pero aparte hemos hecho un estudio que prácticamente resuelve la demostración

Ahora supongamos que se cumple para n, es decir, que para un polinomio de grado m se cumple que el grado de la derivada enésima de p(x) = max(m-n, 0)

Entonces el grado de la derivada n+1 es

máx[(m-n)-1, 0] = máx[m-(n+1), 0]

Luego se cumple para n+1 y queda demostrada la inducción.

Entonces de lo que hemos demostrado se deduce que dado un polinomio de grado m la derivada emésina tiene grado m-m = 0 (es una constante), entonces la derivada m+1 es 0.

Y eso es todo.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas