¿Entre el limite y la derivada existe alguna relación?

La derivada es un límite, luego la relación es total. Lo que pasa es que una te hayan enseñado el límite

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

y hayas hecho alguna por definición te van a enseñar una tabla de derivadas de las funciones y unas reglas y las vas a resolver de una manera mecánica sin pensar que estás calculando un límite.

Por cierto, hablando de derivadas, el ejercicio que te resolví de los números cuyo cuadrado sumaba 100 y había que maximizar el producto está mal resuelto. Lo leí mal y lo hice haciendo que los números sumaran 100 en lugar de que los cuadrados sumaran 100. Me lo advirtió un usuario que aprovecho de nuevo para darle las gracias.

Esta es la resolución buena:

Hallar al suma de dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100 y cuyo producto sea máximo.

x^2+y^2 = 100

Despejamos y

y = +- sqrt(100-x^2)

Lo haremos con el signo positivo, los resultados nos valdrán para el caso de signo negativo

El producto será

f(x,y) = xy

f(x) = x·sqrt(100-x^2)

La derivada es

$$\begin{align}&f'(x) = \sqrt{100-x^2}+x·\frac{-2x}{2 \sqrt{100-x^2}}=\\ &\\ &\sqrt{100-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{100-x^2}} = 0\\ &\\ &\text{multiplicamos por }\sqrt{100-x^2}\\ &\\ &100-x^2-x^2=0\\ &\\ &2x^2=100\\ &\\ &x^2=50\\ &\\ &x=\pm \sqrt{50}\end{align}$$

Como habíamos supuesto y positivo tendrá que ser x positivo también para que el producto sea positivo y así será el máximo.

entonces

y= sqrt(100-x^2) = sqrt(100-50) = sqrt(50)

Luego la primera respuesta es

x=y= sqrt(50)

Y si lo hiciéramos con y negativo los puntos de máximo-minímo son los mismos y ahora hace falta que x sea negativo para que el producto sea positivo.

Luego la otra respuesta es

x=y= - sqrt(50)

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido, perdona por el fallo.