Teoremas de funciones continuas 2

Amo 1965!

a) El conjunto de Cantor K se obtiene a partir del intervalo [0,1] al que se quita primero el intervalo abierto intermedio (1/3, 2/3) en los dos trozos que quedan se quita tambén el intervalo abierto intermedio, asi en [0 1/3] se quita (1/9, 2/9) y en [2/3, 1] se quita (7/9, 8/9).

A los 4 trozos que quedan se les quita su intervalo el intervalo intermedio abierto y asi indefinidamente

Es un cerrado porque su complementario es un abierto ya que es union de abiertos

(-oo, o) U (1,+oo) U (1/3, 2/3) U (1/9, 2/9) U (7/9, 8/9) U ...

Y esta acotado inferiormente por 0 y superioremente por 1.

Luego por el teorema de Heine Borel es compacto.

b) Para demostrar que K es denso en ninguna parte como subconjunto de [0,1] tenemos que demostrar que la cerradura del complementario de K es [0,1]

K es un cerrado, luego su cerradura es él mismo. El complementario es la unión de abiertos

(1/3, 2/3) U (1/9, 2/9) U (7/9, 8/9) U ..

Por la forma de construcción cada vez el complementario va tomando la mayor parte del intervalo [0,1] En K van quedando cada vez segmentos de menor longitud, con lo cual para cualquier bola con centro en un elemento de K llegara una iteración en que el segmento tendrá menor longitud que la bola y por lo tanto el elemento de K pertenecerá a la clausura del complementario

Expresado mejor. En la primera iteración los segmentos de K que quedan son de longitud 1/3, en la segunda 1/9, y en la iteración n tienen longitud 1/3^n. Entonces para una bola de radio épsilon en un elemento de K tomamos la iteración enésima en la que 1/3^n < épsilon, entonces esa bola tendrá elementos del complementario. Y esto para cualquier épsilon, luego los elementos de K pertenecen a la cerradura del complementario y esta cerradura es todo [0, 1]

c) Es de primera especie, ya que es la unión de un único conjunto denso en ninguna parte tal como hemos demostrado en B. Debería ser la unión de innumeranles conjuntos densos en ninguna parte para ser de segunda especie.

Y eso es todo.