Ecuaciones diferenciales ordinarias

Hay que encontrar las soluciones del sistema:

x-y = 0

x+y-2xy = 0

De la primera se deduce

x=y

y sustituyendo x en la segunda tenemos

y+y - 2yy = 0

2y -2y^2 = 0

2y^2=2y

y^2=y

y=0 es la primera solución

simplificando y

y=1 es la segunda solución

Luego los puntos críticos son

(0,0) y (1,1)

El sistema es casi lineal porque -2xy vale 0 en (0,0) y las derivadas parciales de -2xy también valen 0

En el punto (0,0) la matriz asociada al sistema lineal es

1 -1

1 1

Los valores propios son

(1-x)(1-x) +1 = 0

1+x^2-2x+1 = 0

x^2-2x+2 = 0

x = [2 +- sqrt(4-8)]/2 = 1 +- i

Como los valores propios son negativos con la parte real mayor que cero el punto (0, 0) es un nodo inestable, o repulsor, o punto espiral inestable, o foco inestable. De todas esas formas se llama.

Para el punto (1,1) hacemos el cambio de variable

u = x-1

v = y-1

quedando

u' = u-v

v' = u+v+2-2(u+1)(v+1) = -u-v-2uv

que es casi lineal y tiene punto de equilibrio (u,v) = (0,0) correspondiente al (x,y)=(1,1)

La matriz asociada al sistema lineal es

1 -1

-1 -1

Y sus valores propios son

(1-x)(-1-x)-1 = 0

-1-x+x+x^2-1 = 0

x^2 - 2 = 0

x = +-sqrt(2)

Uno es positivo y el otro negativo.

Entonces el punto (1,1) es un punto de silla y es inestable.

Y eso es todo. Me ha costado bastante encontrar la teoría sobre esto sobre todo lo de los sistemas casi lineales. Si pudieras decirme qué libro llevas a lo mejor lo podría encontrar en internet y me vendría muy bien para resolver preguntas sobre esto.