Ecuaciones diferenciales ordinarias
Localiza y clasifica los puntos de equilibrio del siguiente sistema.
X´=x-y , Y´=x+y-2xy
espero contar con su ayuda gracias!!!
1 Respuesta
Hay que encontrar las soluciones del sistema:
x-y = 0
x+y-2xy = 0
De la primera se deduce
x=y
y sustituyendo x en la segunda tenemos
y+y - 2yy = 0
2y -2y^2 = 0
2y^2=2y
y^2=y
y=0 es la primera solución
simplificando y
y=1 es la segunda solución
Luego los puntos críticos son
(0,0) y (1,1)
El sistema es casi lineal porque -2xy vale 0 en (0,0) y las derivadas parciales de -2xy también valen 0
En el punto (0,0) la matriz asociada al sistema lineal es
1 -1
1 1
Los valores propios son
(1-x)(1-x) +1 = 0
1+x^2-2x+1 = 0
x^2-2x+2 = 0
x = [2 +- sqrt(4-8)]/2 = 1 +- i
Como los valores propios son negativos con la parte real mayor que cero el punto (0, 0) es un nodo inestable, o repulsor, o punto espiral inestable, o foco inestable. De todas esas formas se llama.
Para el punto (1,1) hacemos el cambio de variable
u = x-1
v = y-1
quedando
u' = u-v
v' = u+v+2-2(u+1)(v+1) = -u-v-2uv
que es casi lineal y tiene punto de equilibrio (u,v) = (0,0) correspondiente al (x,y)=(1,1)
La matriz asociada al sistema lineal es
1 -1
-1 -1
Y sus valores propios son
(1-x)(-1-x)-1 = 0
-1-x+x+x^2-1 = 0
x^2 - 2 = 0
x = +-sqrt(2)
Uno es positivo y el otro negativo.
Entonces el punto (1,1) es un punto de silla y es inestable.
Y eso es todo. Me ha costado bastante encontrar la teoría sobre esto sobre todo lo de los sistemas casi lineales. Si pudieras decirme qué libro llevas a lo mejor lo podría encontrar en internet y me vendría muy bien para resolver preguntas sobre esto.
