Sobre la interpolación
buenos días: experto
mi consulta es de interpolación y deseo saber si esta bien lo q hice, según ;
a1 => x1,
a2 => x2,
a3 => x3,
si pongo un ejm
5 => 2,
10=> 3,
15=> 4
en excel hice un ejm, para hallar x1, x2,x3
5 => x1,
10=> 3,
15=> 4,
5 => 2,
10=> x2,
15=> 4,
5 => 2,
10=> 3,
15=> x3,
y obtenía 2,3,4, respectivamente
-quiero saber si esos casos se dan para hallar x1, y x3, o solo se puede hallar x2 según teoria
-y si ese ejm q puse esta bien?, o se tienen q entrelazar
5x3=10x2 o 10x4=3x15 (me es confuso)
lo q se es q el numero a hallar es q tiene q estar dentro de los números correlativo o no salir de lo criterios
gracias
1 respuesta
Estamos hablando de interpolación lineal. La interpolación lineal se basa en sustituir una función por la recta que pasa por dos puntos conocidos de la función y así calcular el valor de la función en otros puntos como el valor de la recta.
Puede servir para cualquier punto, tanto esté a la derecha de los puntos conocidos, como en medio o como al final. Pero el uso más habitual es que el punto desconocido este en medio ya que la interpolación será mejor cuanto más cerca esté el punto desconocido de los dos puntos conocidos y si está en el medio se consigue eso. Es muy frecuente usarla cuando tenemos tablas de alguna función (distribución normal de probabilidad, las antiguas tablas de logaritmos y trigonométricas cuando no había calculadoras) y entonces se interpola tomando el valor inferior y el superior al que tenemos que calcular.
Procurando usar tu notación llamaré a1, a2 a los dos puntos que conocemos el valor, siendo siempre a1 < a2. Llamaré a3 al punto donde hay que calcular el valor de la función, lo mismo da que a3 esté antes, en medio o después. Y los valores de la función serán x1, x2, x3.
La recta que une los puntos (a1, x1) (a2, x2) en función de las variables (a, x) es
$$\begin{align}&\frac{a - a_1}{a_2 - a_1} = \frac{x - x_1}{x_2 -x_1}\\ &\\ &\\ &\\ &(x_2-x_1)·\frac{a - a_1}{a_2-a_1} = x - x_1\\ &\\ &\\ &\\ &x= x_1+\frac{x_2-x_1}{a_2-a_1}(a-a_1)\\ &\\ &\\ &Como\; (a_3,x_3) \text{ debe estar en esta recta}\\ &\\ &x_3=x_1+\frac{x_2-x_1}{a_2-a_1}(a_3-a_1)\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y esa es la fórmula para la interpolación, que yo habría hecho mejor en función de variables (x, y) pero como habías utilizado (a, x) lo he dejado de esa forma.
