Ecuaciones diferenciales utilizando el factor integrante 3

La ecuación es de la forma

Mdx + Ndy = 0

Las parciales son estas

My = 4xy - 2x/y^3

Nx = 8xy

Tenemos

Nx - My = 8xy - 4xy + 2x/y^3 = 4xy + 2x/y^3 =

y dividiendo entre M tenemos

(Nx-My)/M = (4xy + 2x/y^3) / (2xy^2 + x/y^2) = 2/y

que solo depende de y.

Y de acuerdo con la teoría el factor integrante es e elevado a la integral de (Nx-My)/m respecto de y.

u(x,y) = e^[int (2/y)dy] = e^(2·lny) = e^[ln(y^2)] = y^2

Multiplicamos por el factor integrante.

(2xy^4+x)dx + 4x^2y^3 dy = 0

comprobamos que ahora es diferencial exacta

My = 8xy^3

Nx = 8xy^3

Y la resolvemos por el método habitual

La respuesta será

U(x,y) = C

U se obtiene integrando M respecto de x, poniendo una función de y como constante de integración

U(x,y) = x^2·y^4 + (x^2)/2 + f(y)

La derivada respecto de U(x,y) respecto de y es N

4x^2·y^3 + f '(y) = 4x^2·y^3

f'(y) = 0

f(y) = C1

luego el valor definitivo de U(x,y) y la respuesta es

x^2·y^4 + (x^2)/2 + C1 = C

las dos constantes se unen en una

x^2·y^4 + (x^2)/2 = C

despejemos la y

x^2·y^4 = C - (x^2)/2

y^4 = C/x^2 - 1/2

y = (C/x^2 - 1/2)^(1/4)

Y eso es todo.