Teoría de ecuaciones II: Raíces racionales

Hasta aquí puedo llegar. Eso es una ecuación de cuarto grado sin ninguna simplificación en apariencia. La fórmula general es tan compleja que nadie la utiliza salvo que se resuelva por ordenador. Entonces el problema puede ser fácil o complejísimo, todo depende de la teoría y métodos que te hayan enseñado, que como yo desconozco no tengo ni idea de por dónde tirar. Si pudieras decirme el libro o decir que teoremas y métodos se emplean a lo mejor podría hacer algo.

Bueno, hay un teorema llamado de la raíz racional.

Teorema de la raíz racional

Las raíces racionales serán de la forma +- (divisor de 90) / (divisor de 2)

$$x=\pm \frac{1,2,3,5,6,9,10,15,18.30.45,90}{1,2}$$

Probamos el primer candidato que es el 1

p(1) = 2+13-35-61+90 = 9

No sirve pero dice que los candidatos que no cumplen la ecuación ayudan a reducir la lista

Si hacemos el cambio

x=1+t

Tendremos un polinomio en t con el mismo coeficiente 2 de x^4 y con 9 como coeficiente independiente

Las soluciones racionales posibles serán:

$$\begin{align}&t=\pm \frac{1,3,9}{1,2}\\ &\\ &luego\\ &\\ &x=1+t= 2,0,\frac 32, \frac 12, 4,-2,\frac 52,-\frac 12,10,-8,\frac{11}{2},-\frac 72\\ &\\ &\text{Los candidatos comunes con la expresión anterior de x son}\\ &\\ &x=2, \frac 32, \frac 12,-2,\frac 52,-\frac 12,10 \\ &\\ &\end{align}$$

Probamos con el 2

p(2) = 2·16 + 13·8 - 35·4 - 61·2 + 90 = -36

Haciendo el cambio

x=2+t tenemos un polinomio en t con coeficiente 2 para x^4 y coeficiente independiente -36.

La verdad es que 36 tiene 9 divisores y nos van a salir 36 posibles valores para x, no ayuda mucho pero miraremos los comunes con los candidatos que tenemos de momento

$$\begin{align}&x=2+t=2\pm \frac{1,2,3,4,6,9,12,18,36}{1,2}\\ &\end{align}$$

En lugar de calcularlos que salen 36 veamos cuales de los que tenemos siguen valiendo

3/2 Si, sería 2 - 1/2

1/2 Si, sería 2 - 3/2

-2 Si, sería 2 - 4

5/2 Si, sería 2 + 3/2

-1/2 No, sería 2 - 5/2, pero -5/2 no está entre los candidatos últimos

10 No, sería 2+8 pero el 8 no está en los últimos

Luego la lista de candidatos más nueva es

x = 3/2, 1/2, -2, 5/2

Probaremos con el número entero antes que con los otros

p(-2) = 2·16 - 13·8 -35·4 + 61·2 +90 = 0

Luego -2 es una raíz, vamos a hacer la división sintética

     2   13  -35  -61  90
-2       -4  -18  106  90
     --------------------
     2 9 -53 45 0

Vemos que de los cuatro candidatos que quedan hay tres que cumplen el teorema, todos menos el -2.

Aunque hace tres horas que ya se la respuesta hay que actuar como si no se supiera y probaremos con el que está primero, con 3/2

P(3/2) = 2(3/2)^3 + 9(3/2)^2 - 53(3/2) + 45 =

27/4 + 81/4 - 139/2 + 45 =

(27+81 -278 + 180)/4 = 10/4 = 5/2

Probamos con 1/2

P(1/2) = 2(1/2)^3 + 9(1/2)^2 - 53(1/2) + 45 = 1/4 + 9/4 - 53/2 + 45 =

(1 + 9 - 106 + 160)/4 = 64/4 = 16

Y solo queda probar con 5/2

P(5/2) = 2(5/2)^3 + 9(5/2)^2 - 53(5/2) + 45 =

250/8 + 225/4 - 265/2 + 45 =

(250 + 450 - 1060 + 360)/8 = 0

Luego las soluciones racionales son -2 y 5/2

Y esto es todo. Yo no usaba estos métodos, cuando salía polinomio de grado tres o más al ordenador. Ten en cuenta que este método solo sirve para problemas preparados, eligiendo al azar casi seguro que salen soluciones irracionales.

Ya me dirás si lo entendiste y lo hacéis así, tal vez me haya pasado de lo que utilizáis.