Determine si la integral diverge o converge

La función está definida en todo R y es continua ya que el denominador no tiene raíces reales.

El signo depende del numerador, cuyas raíces son 0 y -1

En [-oo,-1) es negativa

En (-1, 0) da lo mismo no afecta a la convergencia lo que pueda valer la integral que será una cantidad finita

En (0, +oo] es positiva

Tomemos la función g(x) = 1/(x+1)^3

lim x-->oo f(x)/g(x) = lim x-->oo (x+1)^3(x^3+x^2)/(x^6+1) = 1

Luego ambas convergen o divergen a la vez por un teorema que existe para funciones positivas cuando el cociente del limite es L distinto de cero.

y la integral de g(x) es -[(x+1)^(-2)] / 2 que en [0 , oo) vale -(0 -1)/2 = 1/2

Luego la integral en [0 , oo] es convergente.

Y en [-oo, -1) la función es negativa pero siempre negativa, aplicamos el mismo criterio a la función con el signo - delante. Esta vez podemos tomar -1/x^3. El límite del cociente será 1

Y la integral de esta segunda función será

x^(-2) entre (-oo,- 1] = 1-0 = 1 que converge luego la integral converge en (-oo, -1]

Luego converge en los dos tramos y en el intermedio tiene un valor finito, la suma de los valores será finita y la integral converge en (-oo, oo)

Y eso es todo.