Duda de ED como Modelo Matemático

Probablemente mucha culpa es por escribir expresiones matemáticas en línea sin utilizar un editor de ecuaciones. Pero es que el editor de ecuaciones de esta página no es elemental, hay que saber las ordenes de un lenguaje llamado

LaTeX

y se me da muy mal. Cuando se pueda manejar con el ratón lo usaré más.

La ecuación es de las más sencillas, es de variables separadas, la única dificultad que puede haber es la de resolver dos integrales.

F = ma = m·dv/dt = mg - kv^2
m·dv/dt = mg - kv^2
[m/(mg - kv^2)] dv = dt

Creo que hasta ahí lo habrás entendido ¿no?

Ahora consiste en integras cada miembro respecto la variable que indica el diferencial, a la izquierda respecto a v y a la derecha respecto a t-

La de la derecha es inmediata, la integral es t + C.

La de la izquierda con respecto a la variable v es una función racional (cociente de polinomios). El numerador tiene grado cero en v y el denominador grado 2. La integración de funciones racionales es inmediata solamente en casos sencillos

- Cuando el numerador es la derivada del denominador tenemos un logaritmo neperiano del denominador

$[g'(x) / g(x)] dx = ln|g(x)|

Y las más sencillas que son por ejemplo:

$[a/(x-b)] dx = a ln(x-b)

$ax/(x^2 -b) = (a/2)ln|x^2-b|

- Cuando son la derivada de un arctg

$[a/(1+x^2)]dx = a·arctg(x)

Entonces, existen unos métodos para que una función racional más complicada pueda expresarse como suma de estas sencillas que he escrito. Imagino que los habrás estudiado cuando tocara, sino puedes buscar en internet con resolución de integrales racionales y te aparecerán muchos sitios donde te lo explique seguro.

Te pondré el ejemplo más sencillo del tipo de función racional como el de nuestra ecuación, porque alí hay muchas letras que no dejan ver el bosque

$dx /(1- x^2)

El denominador tiene raíces distintas ya que

1-x^2 = (1+x)(1-x)

Entonces la teoría dice podemos descomponer la función racional en otras dos de esta forma:

1 / (1-x^2) = a / (1+x) + b / (1-x)

Y somos nosotros quienes tenemos que hallar a y b. En algún video de YouTube he visto métodos directos de calcularlo, pero no explican por qué se hace así y la verdad que uno no está para almacenar fórmulas y fórmulas en su memoria. Entonces el cálculo se hace de una manera racional.

Si aplicamos el algoritmo de la suma de fracciones poniendo denominador común tendremos

1 / (1-x^2) = [a(1-x) + b(1+x)] / [(1+x)(1-x)]

1 / (1-x^2) = (a -ax + b + bx) / (1 - x^2)

1 / (1-x^2) = [(b-a)x + a+b] / (1 - x^2)

Como los denominadores son iguales deben serlo los numeradores:

1 = (b-a)x + a+b

Esto es una igualdad polinomial. Como a la izquierda no hay término en x, el coeficiente de x en la derecha debe ser cero, luego

b-a = 0

Y el uno que hay en la izquierda es el término independiente, luego

b+a = 1

Es un sistema de dos ecuaciones que hay que resolver. Muy sencillo, basta con sumar las dos y queda

2b = 1

b=1/2

a=b= 1/2

Luego

1/(1-x^2) = (1/2)/(1+x) + (1/2)/(1-x) y la integral es

$[1/(1-x^2)]dx = $[(1/2)/(1+x)]dx + $[(1/2)/(1-x)]dx =

(1/2)ln|1+x| - (1/2) ln|1-x| + C =

Siempre ha sido un engorro esto de los valores absolutos que aparecen en esta integral. Por eso se ignoran cuando queramos seguir operando a gusto.

(1/2) ln[(1+x)/(1-x)] = ln[(1+x)/(1-x)]^(1/2)

Esto es lo mismo que hice en la ecuación diferencial pero más sencillo por no tener tantas letras.

Lo dejo aquí de momento. Ya me dirás si ya lo entendiste o hay que explicar alguna cosa más.