Problemas de análisis y predicción
1. Se lanza sucesivamente un dado bien equilibrado. Sea Xn el número de lanzamientos ocurridos desde la última vez que apareció el número 6, observado éste después del n-ésimo lanzamiento. Por ejemplo, si los resultados de los primeros 8 lanzamientos son:
1, 6, 5, 4, 4, 3, 6 y 2
Las primeras 8 variables aleatorias del proceso toman los valores:
X1 =1, X2 = 0, X3 = 1, X4= 2, X5 = 3, X6 = 4, X7 = 0 y X8 = 1.
Demuestra que {Xn} es una cadena de Markov.
1 Respuesta
Una cadena de Markov es un proceso estocástico discreto a tiempo discreto que cumple esta condición
$$P(X_n=j|X_0=x_0, \;X_1=x_1,\;...,X_{n-1}=i)=P(X_n=j|X_{n-1}=i)$$Es decir, la distribución de probabilidad de Xn solo depende de valor que haya tomado la variable X sub n-1, el valor de las anteriores no influye.
La variable Xn valdrá 0 si en el lanzamiento enésimo se ha obtenido un 6
y valdrá X_(n-1) + 1 si no se ha obtenido un 6
Luego su distribución de probabilidad es
P(Xn=0) = 1/6
P[Xn=X_(n-1)+1] = 5/6
Y la probabilidad condicionada es
P[Xn=0 | X0=x0, X1=x1, ...., X_(n-1)= j ) = P[Xn=0 | X_(n-1)=j] = 1/6
P(Xn=i | X0=x0, X1=x1;..., X_(n-1) = i-1) = P[Xn=i | X_(n-1)=i-1] = 5/6
P(Xn=i | X0=x0, X1=x1;..., X_(n-1) <> i-1) = P[Xn=i | X_(n-1)<>i-1] = 0
Luego se cumple la condición de Markov y Xn es una cadena de Markov.
Y eso es todo.
