Calcular extremos absolutos función

Cuando una función es continua y derivable en un intervalo los extremos absolutos o bien son los extremos relativos, o bien son el principio o fin del intervalo.

Primero calculamos extremos relativos derivando e igualando a cero

f '(x) =2(x^2-9)·2x = 4x^3 - 36x = 0

tenemos una raíz x=0

Simplificamos y queda

4x^2 - 36 = 0

4x^2 = 36

x^2 = 9

x=- 3 y 3

Pero nuestro intervalo es [-1, 5], luego el -3 no entra y los extremos relativos están x=0 y x=3

Calculamos la derivada segunda para saber si son máximos o mínimos

f ''(x) = 12x^2 - 36

f ''(0) = -36 es máximo relativo

f ''(3) = 12·9 - 36 > 0 es mínimo relativo

Vamos a calcular el valor de la función en esos puntos para comparar con los valores de principio y fin,

f(0) = (0-9)^2 = 81

f(3) = (3^2 - 9)^2 = 0

f(-1) = [(-1)^2 -9]^2 = 64

f(5) = (5^2 - 9)^2 = 16^2 = 256

Pues esos son los cuatro valores que debemos examinar, el menor es cero y el mayor 256, luego

El máximo absoluto está en el punto (5, 256)

El mínimo absoluto está en el punto (3, 0)

Y eso es todo.