¿Ejercicio para determinar asíntotas?

Las asíntotas verticales son los puntos finitos donde la función se infinito. Cuando tenemos un cociente son los puntos donde se anula el denominador y el numerador no.

x^2+x = 0

primero tenemos x=0, pero x=0 anula el numerador. Veamos cual es el límite en cuando x tiende a cero

$$\lim_{x \to 0}\frac{x^3-2x}{x^2+x}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2-2}{x+1}=-2$$

Luego x=0 no es asíntota vertical. Veamos el otro punto donde se anula el denominador que tras simplificar la x queda

x+1 = 0

x=-1

Y aquí el numerador vale

(-1)^3 -2(-1) = 1

Luego este si vale.

Resumiendo:

Hay una asíntota vertical que es la recta x=-1

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Asisntota horizontal es el límite cuando x tiende a +-infinito si es es un número finito

Al tener un grado más el numerador que el denominador, el límite en el infinito es infinito y no hay asíntotas horizontales.

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Una asíntota oblicua es una recta

y = mx + b tal que se aproxima a la función en el infinito

el cálculo de m es así

$$\begin{align}&m = \lim_{x \to \pm\infty}\frac {f(x)}{x}\\ &\\ &m=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^3-2x}{x^2+x}}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x^3-2x}{x(x^2+x)}=\\ &\\ &\lim_{x \to\pm\infty}\frac{x^2-2}{x^2+x}=1\\ &\\ &\\ &\\ &b=\lim_{x \to \pm\infty}f(x)-mx\\ &\\ &b= \lim_{x \to \pm \infty}\frac{x^3-2x}{x^2+x}-x=\\ &\\ &\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x^3-2x-x^3-x^2}{x^2+x}=\\ &\\ & \\ &\lim_{x \to \pm \infty}\frac{-x^2-2x}{x^2+x}=-1\end{align}$$

Luego la asíntota oblícua es la recta y = x-1

Y eso es todo.

Ya atiendo u pregunta