Geometría Analítica, Espero me ayudes!

No acabo de entender el final de la pregunta, ¿puede qué quieras decir que la distancia entre los cortes con los ejes sea 9? Si es así no sé cuál sería el significado del signo menos.

Bueno yo hago hasta donde sé y luego me aclaras.

Una recta en la forma

Ax + By + C = 0

tiene como vector director a (B, -A)

y el vector perpendicular a (B, -A) es (A, B)

Luego la recta perpendicular se construye con el segundo cambiado de signo para la x y el primero tal como está para la y

- Bx + Ay + D = 0

o si se prefiere

Bx - Ay + E = 0

Que da las mismas rectas. Elegiremos el que venga mejor en cada caso, yo lo haré siempre de forma que el coeficiente de la x sea positivo.

Asi que para nuestro caso la familia de rectas perpendiculares es

3x +2x + E =0

Y la forma normal se obtiene dividiendo por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la x y la y

$$\begin{align}&\sqrt{3^2+2^2}= \sqrt{13}\\ &\\ &\frac{3}{\sqrt {13}}x+\frac{2}{\sqrt{13}}y+\frac{E}{\sqrt{13}}=0\\ &\\ &\text {llamemos F al ultimo}\\ &\\ &\frac{3}{\sqrt {13}}x+\frac{2}{\sqrt{13}}y+F = 0\\ &\\ &\text{El corte con el eje X es cuando y=0}\\ &\\ &x=-\frac{F \sqrt{13}}{3}\\ &\\ &\text{y con el eje Y cuando x=0}\\ &\\ &y =-\frac{F \sqrt{13}}{2}\\ &\\ &\text{La distancia entre ellos es:}\\ &\\ &d = \sqrt{\frac{13F^2}{4}+\frac{13F^2}{9}}=\frac{13|F|}{6}\\ &\\ &\text {Si queremos que esa distancia sea 9}\\ &\\ &9 =\frac{13|F|}{6}\\ &\\ &54 =13 |F|\\ &\\ &|F|=\frac{54}{13}\\ &\\ &\text{Y salen dos rectas}\\ &\\ &r_1:\frac{3}{\sqrt {13}}x+\frac{2}{\sqrt{13}}y+\frac{54}{13} = 0\\ &\\ &r_2:\frac{3}{\sqrt {13}}x+\frac{2}{\sqrt{13}}y-\frac{54}{13} = 0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y ambas son rectas con pendiente negativa la primera corta primero al eje Y y después al eje X, la segunda primero al X y después al Y. Decide tú cuál escoger porque yo no entendí lo que pones al final.

"y determinar sobre el eje x y el segmento -9"

A lo mejor si lo escribes bien incluso es distinto el problema.

Y también puede que hayas alguna teoría que permita hacer el problema más fácilmente, pero yo no la conozco.

Si acaso puedes explicar bien la frase esa que veo confusa me lo dices.