Problema de calculo diferencial
Me podrían ayudar por favor con el siguiente problema.
Demuestra que la función es continua en el número dado a. F(x)=v2x+1-3x, a=4
1 Respuesta
Es
$$f(x)=v^2x+1-3x, x=4$$
?
Si es así, recuerda que las operaciones de suma y producto son continuas y que por supuesto la función f(x)=x también lo es (ambos en todo número real, en particular en x=4)
Escribí mal la función.Perdón.
Es así,
$$f(x)= \sqrt(2x+1) -3x, a=4$$
todo el 2x+1 encerrado en raíz cuadrada
Todo se reduce a probar que la raíz cuadrada es continua en (0,\infty), ya que el resto es sólo una composición de funciones continuas. (Bueno, sólo basta probar que es continua en 2*4+1=9, pero mejor lo hacemos en general, al menos para x>0)
Sólo basta notar que
$$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=|\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}|$$Luego, como x>0, si r=sqrt(x)/2, existe z>0 tal que
$$\sqrt{x}+\sqrt{y} > z$$Así que de la primera desigualdad
$$|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \frac{|x-y|}{z}\leq \varepsilon$$Y por lo tanto la raíz cuadrada es continua en tales puntos.
