Espacio vectorial sobre R

Sean v,w_1 y w_2?R^3 espacio vectorial sobre R demuestra que si v es perpendicular a w_1 y w_2, entonces es perpendicular a cualquier combinación lineal de ellos dos.

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Ser perpendicular significa que el producto escalar es 0

Sean

v = (xo,yo,zo)

w_1 = (x1,y1,z1)

w_2 = (x2,y2,z2)

Usaré asterisco para el producto vectorial para que no se confunda con el producto normal.

Por la perpendicularidad que nos dicen tenemos estas dos igualdades

v * w1 = xo·x1 + yo·y1 + zo·z1 = 0

v * w2 = xo·x2 + yo·y2 + zo·z2 = 0

Ahora calculamos el producto escalar de v con una combinación lineal de w1 y w2.

(xo,yo,zo) * [a(x1,y1,z1)+b(x2,y2,z2)] =

Por las propiedades de la suma de vectores y producto por un elemento del cuerpo tenemos

(xo,yo,zo) * (ax1+bx2, ay1+by2, az1+bz2) =

xo(ax1+bx2) + yo(ay1+by2) + zo(az1+bz2) =

a·xo·x1 + b·xo·x2 + a·yo·y1 + a·yo·y2 + a·zo·z1 + a·zo·z2 =

a(xo·x1+yo·y1+zo·z1) + b(xo·x2+yo·y2+zo·z2) =

a(v * w1) + b(v * x2) = a·0 + b·0 = 0

Luego el vector es perpendicular a la combinación lineal de w1 y w2.

Y eso es todo.

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