Encontrar solución de la ecuación diferencial aplicando método de variables separables

dy/dx = yx+x

dy/dx = x(y+1)

dy/(y+1) = x·dx

Integramos en ambos lados

ln(y+1) = (x^2)/2 + C

y+1 = e^[(x^2)/2 + C]

y = e^[(x^2)/2 + C] - 1

Y ahora ponemos la condición inicial

5 = e^[0+C] - 1

6 = e^C

ln 6 = C

Y la función queda

y = e^[(x^2)/2 + ln 6] - 1

y = e^[(x^2)/2]e^(ln 6) - 1

y = 6e^[(x^2)/2] - 1

Vamos a comprobarlo

dy/dx = 6e^[(x^2)/2]x = 6xe^[(x^2)/2]

yx+x = {6e^[(x^2)/2]-1}x + x = 6xe^[(x^2)/2] - x + x = 6xe^[(x^2)/2]

Luego está bien.

Y eso es todo.