Demuestre que para cualquier x,y...

Tenemos estas dos fórmulas

sen(a+b) = sena·cosb + cosa·senb

sen(a-b) = sena·cosb - cosa·senb

si las sumamos tendremos

sen(a+b) + sen(a-b) = 2sena·cosb

Vamos a sustituir

a = (x+y)/2

b = (x-y)/2

con eso queda

$$\begin{align}&sen\left(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}  \right)+sen\left(\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}  \right)= 2sen\left(\frac{x+y}{2}  \right)\cos\left(\frac{x-y}{2}  \right)\\ &\\ &\\ &\\ &sen \left(\frac{2x}{2}\right)+sen \left(\frac{2y}{2}\right)=2sen\left(\frac{x+y}{2}  \right)\cos\left(\frac{x-y}{2}  \right)\\ &\\ &\\ &\\ &sen \,x+sen \,y=2sen\left(\frac{x+y}{2}  \right)\cos\left(\frac{x-y}{2}  \right)\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.