Ejercicio de matemáticas: calcular variables para cumplir igualdades numéricas

Creo que será parecido, vamos a hacer la división del primer miembro racionalizando denominadores y para ello hacemos la típica multiplicación y división por el conjugado del denominador.
(4m-2i)/(3+ni) =
(4m-2i) (3-ni) / [(3+ni)(3-ni)] =
(4m-2i)(3-ni) / [9 - (n^2)i^2] =
(4m-2i)(3-ni) / (9 + n^2) =
(12m - 4mni - 6i +2ni^2) / (9 + n^2) =
(12m - 4mni - 6i - 2n) / (9 + n^2) =
[12m - 2n - (4mn + 6) i] / (9 + n^2)
Y vamos a igualarlo ya con el segundo miembro
[12m - 2n - (4mn + 6) i] / (9 + n^2) = 6 - 2i
La igualdad debe cumplirse tanto en la parte real como la imaginaria, luego nos queda este sistema de ecuaciones:
(12m - 2n) / (9 + n^2) = 6
(4mn + 6) / (9 + n^2) = 2
Que iremos resolviendo como podamos, puede que de algún paso doble pero es que va ser largo para escribirlo todo.
12m - 2n = 54 + 6n^2
4mn + 6 = 18 + 2n^2
Seguimos operando y simplificando a la vez
3n^2 - 6m + n + 27 = 0
2mn - n^2 - 6 = 0
Despejamos m en la segunda
m = (n^2+6)/(2n)
Y lo llevamos a la primera
3n^2 - 3(n^2+6)/n + n + 27 = 0
3n^3 - 3n^2 .18 + n^2 + 27n = 0
3n^3 - 2n^2 + 27 n -18 = 0
Y normalmente aquí es cuando se dice:
¡Una ecuación de grado 3, que la resuelva su ...!
Pero si se mira un poco se ve un 3n-2 como factor común en los dos primeros y los dos últimos términos:
n^2(3n-2)+ 9(3n-2) = 0
(n^2+9)(3n-2) = 0
Esto se cumple si uno de los dos factores es cero
n^2+9 = 0
es imposible si n debe ser un número real, luego probamos con el segundo factor
3n - 2 = 0
3n = 2
n = 2/3
Y calculado n vamos a aquella ecuación donde habíamos despejado m
m = (n^2+6)/(2n) = ((2/3)^2 + 6) / (2(2/3)) = (4/9 + 6) / (4/3) = (58/9) / (4/3)=
(58 · 3) / (9 · 4) = 58 / 12 = 29 /6
Luego la solución es
m = 29 / 6
n = 2 / 3
Pero dile al profesor que estos problemas son muy maliciosos, que he estado repasando mil y una veces las cuentas porque esperaba que saliera una ecuación sencilla de 2 grado a lo sumo y no salía.
Y eso es todo.