Teoría de Números: Triple pitagórico entre 60

Lo haremos para una terna Pitagórica primitiva. Si no lo es será una primitiva multiplicada por una constante y el producto será múltiplo del producto de la primitiva y por lo tanto múltiplo de 60

Hay un teorema que dice que una terna pitagórica primitiva se obtiene a partir de 2 coprimos s y t siendo la terna 2st, s^2+t^2 y s^2-t^2

El producto de la terna será

2st(s^2+t^2)(s^2-t^2) = 2st(s^4-t4)

Tenemos que demostrar que eso es múltiplo de 60 = 4 · 3 · 5. Veremos que es múltiplo de cada uno de ellos

Como s y t son coprimos unos será par y el otro impar. Luego hay un par y tenemos otro factor primo 2 aparte del que está a la vista, luego es múltiplo de 4.

Si s o t son múltiplos de 3 ya es divisible entre 3. Si no lo son vamos aver que s^4-t^4 es múltiplo de 3

Sea s = 3n+1 y t=3m+1

s^4 - t^4 = 81n^4+108n^3+54n^2+12n+1 - 81m^4-108m^3-54m^2 -12m-1 =

81(n^4-m^4) + 108(n^3-m^3) + 54(n^2-m^2) + 12(n-m) =

3[27(n^4-m^4) + 36(n^3-m^3) + 18(n^2-m^2) + 4(n-m)] que es múltiplo de 3

Sea s = 3n+2 y t=3m+1

s^4-t^4 = 81n^4+216n^3+216n^2+96n^2+16 - 81m^4-108m^3-54m^2 -12m-1 =

No voy a hacer el cálculo, todos los términos con n son múltiplos de 3 y el termino libre queda en 15 que también lo es, luego s^4-t^4 es múltiplo de 3

Sea s=3n+1 y t=3m+2

Lo mismo que antes quedando término libre -15

Sea s=3n+2 y t=3m+2

Todos los términos en n serán múltiplos de 3 y el libre será 0, luego múltiplo de 3

Luego el producto de la terna pitagórica es múltiplo de 3

Y queda por ver que es múltiplo de 5.

Si s o t fueran múltiplos de 5 ya está, vamos a comprobarlo cuando no lo es ninguno.

El procedimiento es similar al anterior, probando todas las combinaciones posibles de números s=5n+1, 5n+2, 5n+3, 5n+4 y los correspondientes con m para t

Todos los términos en n van a ser múltiplos de 5 porque tienen el 5 elevado a alguna potencia, luego examinemos solo que pasa con los términos libres

s=5n+1, t=5m+1 queda 1-1 = 0

s =5n+2, t=5m+1 queda 16-1 = 15 que es múltiplo de 5

s =5n+3, t=5m+1 queda 81-1 = 80 que es múltiplo de 5

s=5n+4, t=5m+1 queda 236-1 = 235 que es múltiplo de 5

s=5n+2, t=5m+2 queda cero

s=5n+3, t=5m+2 queda 81-16 = 65 que es múltiplo de 5

s=5n+4, t=5m+2 queda 236-16 = 220 que es múltiplo de 5

S=5n+3, t=5m+3 queda cero

s=5n+4, t=5m+3 queda 236 - 81 = 155 que es múltiplo de 5

s=5n+4, t=5m+4 queda cero

Luego siempre que s y t nio sean múltiplos de 5 lo es s^4-t^4

Luego ya tenemos que el producto de la terna pitagórica es múltiplo de 4, de 3 y de 5, luego lo es de 60.

Y eso es todo.