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5.10)
Casi todos los problemas en que te preguntan si un conjunto es un subgrupo se resuelven por el teorema de caracterización de subgrupos que dice.
Sea H un subconjunto de un grupo G. Entonces H es un subgrupo de G si y solo si se cumplen estas dos condiciones:
i) H no es vacio
Ii) Para todo para de elementos a, b € H se cumple a·b^-1 € H
Vamos a comprobarlo con este conjunto K del ejercicio 5.10
i) Es obvio, tenemos la identidad que no mueve ningún elemento, todos los ciclos de longitud 2 y muchos más elementos que pertenecen a K, luego no es vacio.
ii) Sean ahora dos elementos ...
Pensaba que iba a ser verdad pero ahora veo que no, no es un subgrupo.
Tomemos a el ciclo (1,2,3,4,..., 26) de 26 elementos
Y b el ciclo (27, 28,29, ..., 52) de 26 elementos también
b^-1=(27, 52, 51, ...., 28)
a·b^-1 = (1,2,3,...., 26) (27, 52, 51, ..., 28)
Y a·b^-1 mueve 52 elementos, luego no pertenece a K.
Luego no es subgrupo.
Ahora que veo que no era subgrupo veo que se puede demostrar más directamente con un contraejemplo y olvidar todo lo que he puesto antes
Tomamos dos permutaciones que muevan menos de 50 elementos, que sean distintos los que mueve una y otra y que entre las dos sumen más de 50 elementos movidos. El producto de las dos permutaciones no pertenece a K porque mueve mas de 50 y entonces K no es un subgrupo.
Y eso es todo.
