Encuentra los otros dos vértices
Dados tres vértices, A(2,-3, -5), B(-1, 3, 2) del
paralelogramo ABCD y sea el punto de intersección de sus diagonales E(4, -1, 7),
encuentra los otros dos vértices.
Saludos
1 Respuesta
Para desarrollar este ejercicio debemos conocer una propiedad de las diagonales de un paralelogramo, la cual es.
"Las coordenadas del punto medio del segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos".(Vitutor)
Esto nos quiere decir que como tenemos un paralelogramo ABCD y el punto de intersección de las diagonales, que es el punto medio, esta coinciden con la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos.
Entonces.
Paralelogramo ABCD, entonces el punto medio de este, sera el punto medio del segmento AD y BC. Puntos extremos son A y B, de AD y BC respectivamente.
$$\begin{align}&\stackrel{\textstyle\longleftrightarrow}{\mathrm{AD}}:\\ &(4,-1,7)=(\frac{(2,-3,-5)+(D_{1},D_{2},D_{3})}{2})\\ &\\ &*4=\frac{2+D_{1}}{2}=>D_{1}=6\\ &*-1=\frac{-3+D_{2}}{2}=>D_{2}=1\\ &*7=\frac{-5+D_{3}}{2}=>D_{3}=19\\ &\\ &D=(6,1,19)\\ &\\ &\stackrel{\textstyle\longleftrightarrow}{\mathrm{BC}}:\\ &(4,-1,7)=(\frac{(-1,3,2)+(C_{1},C_{2},C_{3})}{2})\end{align}$$Realizas el mismo procedimiento para obtener el punto "C". Luego si lo gráficas te da un paralelogramo con sus respectivas diagonales.
Gracias, pero solo una aclaración, me podrías decir como sale el valor de D1, o D2 o D3, para yo sacar los valores de C?, por mas que le busco no encuentro como.
Saludos
Bueno la formula del punto medio es así.
$$\begin{align}&M=P.Medio\\ &\\ &M(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{z_{1}+z_{2}}{2})\\ &\end{align}$$Pero en este ejercicio nos entregan el punto medio (M).
Por lo tanto reemplazamos el punto medio por (4,-1,7).
$$\begin{align}&M(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{z_{1}+z_{2}}{2})\\ &\\ &(4,-1,7)(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{z_{1}+z_{2}}{2})\\ &\\ &\end{align}$$Entonces para obtener BC, debemos tener el vector B y el C, el B=(-1,3,2) y C no lo conocemos por lo tanto lo expresamos como C=(C1,C2,C3).
$$\begin{align}&(4,-1,7)(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{z_{1}+z_{2}}{2})\\ &\\ &B=(-1,3,2)\\ &C=(C_{1},C_{2},C_{3})\\ &\\ &(4,-1,7)(\frac{-1+C_{1}}{2},\frac{3+C_{2}}{2},\frac{2+C_{3}}{2})\end{align}$$Entonces, igualamos componentes, nos queda.
$$\begin{align}&(4,-1,7)(\frac{-1+C_{1}}{2},\frac{3+C_{2}}{2},\frac{2+C_{3}}{2})\\ &\\ &4=\frac{-1+C_{1}}{2}\\ &-1=\frac{3+C_{2}}{2}\\ &7=\frac{2+C_{3}}{2}\end{align}$$Luego despejas C en cada caso y tendrás el punto C.
Eso saludos.
