Utilizar propiedad de logaritmo

Las propiedades de los logaritmos que vamos a usar aquí son

loga + logb = log(ab)

a·logb = log(b^a)

log(x -1)+log(x -1) = 3 log2 +log(x -2)

log [(x-1)(x-1)] = log(2^3) + log(x-2)

log[(x-1)^2] = log[2^3·(x-2)]

Y ahora si los logaritmos son iguales lo son sus argumentos

(x-1)^2 = 2^3·(x-2)

x^2 - 2x + 1 = 8x -16

x^2 - 10x + 17 = 0

$$\begin{align}&x=\frac{10\pm \sqrt{100-68}}{2}=\frac{10\pm \sqrt{32}}{2}=\\ &\\ &\frac{10\pm 4 \sqrt 2}{2}= 5 \pm 2 \sqrt 2\end{align}$$

Y ahora viene algo delicado, es comprobar que las respuestas sirven, y no solo es por ver si se ha hecho bien o mal, sino porque al resolver algunas ecuaciones pueden aparecer respuestas fantasma, que no cumplen la ecuación original. Y en este caso lo que puede suceder es que con alguna de las respuestas tengamos un argumento negativo en los logaritmos y eso no está definido.

Si tomamos x=5- 2sqrt(2) eso vale

2.1715572875

Y no hay problema porque tanto x-1 como x-2 son positivos.

Y si tomamos x=5+sqrt(2) con menos motivo se obtienen argumentos negativos, luego las dos respuestas sirven.

Y eso es todo.