Multiplicadores de lagrange

La caja tendrá unas dimensiones x, y, z dadas en pies. Su volumen será

V(x,y,z) = xyz

Esta es la función que debemos maximizar, pero esta sometido a unas restricciones.

La superficie del fondo será xy

La superficie del resto de la caja es xy + 2xz+ 2yz

El precio de la caja es

0.6xy + 0.2(xy+2xz+2yz) = 12

0.8xy + 0.4xz + 0.4yz = 12

Podemos quitar los decimales que no dan mucho gusto multiplicando por 5/2 y ponerlo ya en la forma que suele ponerse la ecuación de ligadura

g(x,y,z) = 2xy + xz + yz - 30 = 0

Llamemos t al multiplicador de Lagrange, según la teoría tomamos la función

F(x,y,z,t) = V(x,y,z) + t·g(x,y,z)

Y los máximos o mínimos son la solución del sistema de ecuaciones formado por las derivadas parciales de F respecto x, y, z igualadas a 0, con el añadido de la ecuación de ligadura

F(x,y,z,t) = xyz + t(2xy + xz + yz - 30)

Fx(x,y,z,t) = yz + t(2y+z) = 0

Fy(x,y,z,t) = xz + t(2x+z) = 0

Fz(x,y,z,t) = xy + t(x+y) = 0

Luego este es el sistema que hay que resolver

1) yz + t(2y+z) = 0

2) xz + t(2x+z) = 0

3) xy + t(x+y) = 0

4) 2xy + xz + yz - 30 = 0

Despejamos t en la primera

t = -yz / (2y+z)

lo llevamos a la segunda

xz - yz(2x+z) / (2y+z) = 0

xz(2y+z) - yz(2x+z) = 0

2xyz + x·z^2 - 2xyz -yz^2 = 0

x·z^2 - yz^2 = 0

La respuesta z=0 no vale par el máximo ya que el volumen sería 0, luego podemos simplificar z^2

x - y = 0

x=y

Vamos a la tercera con el valor de t de momento

xy - yz(x+y) / (2y+z) = 0

2xy^2 + xyz - xyz - y^2z = 0

2xy^2 - y^2·z = 0

De nuevo razonamos que y no puede ser 0 para el volumen máximo, luego simplificamos y^2

2x-z=0

z=2x

Y esto lo llevamos a la 4

2xy + xz + yz - 30 = 0

que como y=x, z=2x queda

2x^2 +2x^2 + 2x^2 - 30 = 0

6x^2 = 30

x^2 = 5

Y el máximo volumen se obtiene para

x= sqrt(5)

y = sqrt(5)

z = 2sqrt(5)

Luego es V = 10sqrt(5)

Y eso es todo.