Ayuda con esta demostración de álgebra lineal.. Por favor
Demuestra que si b es un eigenvalor de A y su eigenvector correspondiente es x, entonces 1/b es un eigenvalor de A^(-1) con eigenvector
correspondiente x.
1 respuesta
Por Dios, ¿ya no existe el lenguaje español?
En mis tiempos eso se llamaban valores propios y vectores propios.
Si b es un valor propio de la matriz A y x es el vector propio correspondiente se verifica
Ax = bx
Vamos a multiplicar a la izquierda por la matriz inversa.
(A^-1)Ax = (A^-1)bx
Una matriz por su inversa es el elemento neutro que puede omitirse en este caso
x = (A^-1)bx
b es un escalar que podemos colocarlo delante de la matriz
x = b(A^-1)x
Y multiplicamos a la izquierda por el escalar inverso
(1/b)x = (1/b)b(A^-1)x
El escalar multiplicado por su inverso de el elemento neutro desaparece
(1/b)x = (A^-1)x
O lo ponemos al revés para dejarlo tal como poníamos al principio
(A^-1)x = (1/b)x
Eso es la definición de que (1/b) es un valor propio de la matriz A^-1 con vector propio correspondiente x.
Y eso es todo.
