Demostrar un lema,sea un función continua en un punto dado,f es acotada en el intervalo de vecindad

Por la definición de función continua en un punto se tiene que si f(x) es continua en xo entonces:

Para todo epsilon>0 existe un delta>0 tal que para todos los x que cumplan

|x-xo| < delta se cumple |f(x) - f(xo)| < epsilon

Entonces tomemos un epsilón > 0 cualquiera y existirá un delta cumpliendo la definición arriba escrita

decir |x-xo| < delta

Es decir

-Delta < x-xo < delta

Xo - delta < x < xo+delta

Luego x € (xo-delta, xo+delta)

Eso es una vecindad de xo

Y para todos los elementos x de esa vecindad se cumple

|f(x) - f(xo)| < epsilon

-epsilon < f(x) - f(xo) < epsilon

f(xo) - epsilon < f(x) < f(xo) + epsilon

Luego la función en los puntos de la vecindad tienen una cota inferior f(xo) - epsilon y una superior f(xo)+epsilon, luego está acotada en esa vecindad.

Y eso es todo.