Solución ejercicio 5 pag 526
Puedes ayudarme por favor con el ejercicio 5 de la siguiente imagen:
1 respuesta
El trabajo es la integral en línea del campo a lo largo del trayecto. No nos dicen claramente cual es el trayecto, podríamos tomar cualquiera que nos lleve al infinito.
Por ejemplo, si en punto ro = (xo, yo, zo) el trayecto podría ser
(xo+t, yo, zo) con t€[0,oo)
o
(xo+t, yo+t, zo+t) con t€[0,oo)
Me parece que lo mejor será hacerlo de las dos formas para ver si da lo mismo.
Respecto al campo será
$$\begin{align}&F(x,y,z) = -\frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}i -\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}j -\frac{z}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}k\\ &\\ &\end{align}$$Si tomamos la primera parametrización el trabajo será
$$\begin{align}&\int_0^{\infty}-\frac{x_0+t}{\sqrt{[(x_0+t)^2+y_0^2+z_0^2}]^3}dt=\\ &\\ &\int_0^{\infty}-(x_0+t)[(x_0+t)^2+y_0^2+z_0^2]^{-3/2} \;dt=\\ &\\ &\\ &\left.((x_0+t)^2+y_0^2+z_0^2)^{-1/2}\right|_0^{\infty}= \\ &\\ &0- (x_0^2+y_0^2+z_0^2)^{-1/2}=\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}} \end{align}$$Y eso es todo.
valeroasm porque al calcular el trabajo realizado por F solo reemplazas la primera componente de la parametrización que utilizaste. no debería ser en todas las componentes de F? tengo dudas del procedimiento que utilizaste.explicame de nuevo.
He considerado que el camino que lleva al infinito es (xo+t, yo, zo)
Al hacer la integral de línea se multiplica cada componente del campo por la respectiva derivada del trayecto. Como la derivada del trayecto es (1, 0, 0) el producto de la las componentes 2 y 3 del campo es 0 y unicamente la componenente primera del campo cuenta en la integral de línea.
Puedes comprobar que si lo calcularas mediante el camino (xo+t, yo+t, zo+t) con derivada (1,1,1) y en donde entrarían las 3 componentes, el resultado sería el mismo.
