Halle la ecuación de la recta tangente a la curva por^3+3xy^2+y^3=13 en el punto (2,-1)

No podemos despejar ni x ni y en la curva, luego tendremos que hacer derivación implícita para encontrar la tangente en ese punto. Derivaremos respecto a x en los dos lados teniendo en cuenta que y es una función de x y hay que usar la regla de la cadena poniendo y' cuando haya que derivar y.

$$\begin{align}&x^3+3xy^2+y^3-13=0\\ &\\ &3x^2+3y^2+6xyy´+3y^2y´=0\\ &\\ &6xyy´+3y^2y´ = -3x^2 -3y^2\\ &\\ &y´(6xy+3y^2) = -3(x^2+y^2)\\ &\\ &y´= -\frac{x^2+y^2}{2xy+y^2}\\ &\\ &\\ &\\ &\text{La derivada en (2,-1) es}\\ &\\ &y´=-\frac{2^2+(-1)^2}{2·2(-1)+(-1)^2}=-\frac{5}{-3}=\frac 53\end{align}$$

Y ya conocemos la derivada y usamos la fórmula

y = yo + f '(xo) (x-xo)

y = -1 + (5/3)(x-2)

y = -1 + 5x/3 -10/3

y = 5x/3 - 13/3

3y = 5x -13

5x - 3y = 13

Es exactamente lo que pedían.

Y eso es todo.