Integral de tanxdx/1+cosx por el método de integrales racionales del seno y coseno
Hola, esta es la otra integral que no he podido resolver, llego hasta la sustitución pero después no se como hallar las raíces del denominador! Agradezco tu pronta respuesta.
1 Respuesta
Antes de empezar con este despejar la línea esa rara que apareció en la respuesta anterior. El corrector ortográfico de la página va mal y hace cosas de esas imprevisibles.
La línea que ponía:
2 /[(t-r1)(t-r2) = a/(t-r1) + b/(t-r2)
es
2/ [(t-r1)(t-r2)] = a/(t-r1) + b/(t-r2)
Es que precisamente fue a emborronar la línea principal de todo la explicación.
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Y ahora vamos ya con este.
$tanx dx /(1+cosx) = $senx dx /[cosx(1+cosx)] =
Aquí no hará falta el cambio t=tg(x/2) que es para los casos más desesperados, nos bastará con el simple cambio
t = cosx
dt = -senxdx
=$-dt/[t(t+1)] =
Ya tenemos el denominador descompuesto en factores, las raíces son 0 y -1 pero no son necesarias porque las raíces se calculan para poder factorizar y ahora ya está factorizado.
Según la teoría tendremos:
-1/[t(t+1) = a/t + b/(t+1) = [a(t+1) + bt] / [t(t+1)] = [(a+b)t +a] / [t(t+1)]
Para que el primer y último numerador sean iguales debe ser
a+b = 0
a=-1
luego b = 1
Y la integral queda reducida a la suma de estas:
$-dt/t + $dt/(t+1) = -ln|t|+ln|t+1| + C =
ln|(t+1)/t| + C =
ln|(1+cosx) / cosx| + C
Y esta es sencilla al punto de intentar verificarla. Lo de losa valores absolutos en las integrales de los logaritmos es algo que es cierto que debe ponerse, pero no es más que un engorro, a lo hora de derivar se pueden quitar para no tener que derivar en dos plazos según sea el signo ya que el resultado es igual
ln'(x) = ln'(-x)
Pero aparte de eso, que es mucho más fácil derivarla como si fuera
[ln(1+cosx) - ln(cosx)]' = -senx/(1+cosx) + senx/cosx =
(-senxcosx +senx +senxcosx) / [cosx(1+cosx)] =
senx/[cosx(1+cosx)] = tg(x) / (1+cosx)
Luego está bien.
Y eso es todo.
Ah lo que sucede es que la respuesta que espero obtener al final es -Ln|1-tan^2(x/2)|+C, ya que debo utilizar es el método de integrales racionales del seno y el coseno, donde se sustituye tanx = 2t/1-t^2; cosx = 1-t^2/1+t^2 y dx = 2dt/1+t^2
y luego de esa sustitución me queda $2tdt/(1+t^2)... después de ahi no se que hacer!
hola, buenas tardes. No en el libro no aparece otro método, me pide que lo resuelva específicamente por el método de funciones racionales de seno y coseno...
Pero que asco da el corrector ortográfico que emborrona algunas líneas
Donde ponía
senx/[cosx(1+cosx)] = tg(x) / (1+cosx)
es
senx/[cosx(1+cosx)] = tg(x) / (1+cosx)
Los buenos métodos dicen que si una función tiene la forma:
R(cosx)·senx el cambio es t=cosx
y si tiene la forma
R(senx)·cosx el cambio es t=senx
y solo hay que recurrir al cambio t=tgx o t = tg(x/2) cuando no sirven los anteriores.
Te pido que lo reconsideres. No es que no quiera hacerlo como dices, pero mira a ver si en tu libro te comenta esos dos métodos que te decía yo, porque tienen prioridad sobre el que quieres utilizar. Las integrales deben ser resuletas por el método más sencillo. Tambíen podríamos usar si quieres el método t=tg(x/2) en esta integral y serviría, pero sería una barbaridad.
muchísimas gracias, me fue de mucha ayuda y disculpa las molestias causadas! =)
Mi libro:
Calculo diferencial e integral de Piskunov, que se puede obtener gratis en internet aunque está escaneado pésimamente, dice que hay un método general que es el cambio t = tg(x/2) y sirve para cualquier integral racional de funcionbes trigonométricas, pero luego cita 6 casos en los que se puede resolver más fácilmente:
1) $R(senx)cosx dx con el cambio t=senx
2) $R(cosx)senx dx con el cambio t=cosx
3) $R(tgx)dx con el cambio t=tgx
4) $R(senx, cosx)dx donde todas las potencias son pares con t=tgx
5) $(Senx)^m · (cosx)n dx es largo de explicar
6) $Cos(mx)·sen(nx) dx complicado de explicar
Y sobre todo los 2 e incluso 4 primeros se tendrían que conocer y usar. Porque no hay cosa más horrible que una integral racional cuando los polinomios son complicados, si encima se hace no siendo necesario, doble golpe.
El cambio que tu me dices es
tgx = 2t/1-t^2; cosx = 1-t^2/1+t^2 y dx = 2dt/1+t^2
Y todo ello se deduce del método general cuyo cambio es t = tg(x/2)
Si la integral era:
$tgxdx/(1+cosx)
tendremos
$(2t/1-t^2)(2dt/1+t^2) / [1+ (1-t^2)/(1+t^2)]=
${4tdt/[(1-t^2)(1+t^2)]}/[2/(1+t^2)] = $2dt/(1-t^2)
La factorización del denominador es inmediata (1+t)(1-t)
2/(1-t^2) = a/(1+t) + b/(1-t) = [a(1-t)+b(1+t)] / [(1+t)(1-t)] = [a+b + (b-a)t] /(1-t^2)
Como tenemos igual denominador también debe serlo el numerador
2 = a+b
0 = b-a
Luego
a=b=1
$dt/(1+t) + $dt/(1-t) = ln|1+t| - ln|1-t| + C =
ln|(1+t)/(1-t)| + C =
ln|[1+tg(x/2)] / [1-tg(x/2)]| + C
Y lo malo que pasa por no usar el método adecuado de integración es que ahora no hay persona humana que derivando eso sea capaz de llegar a la función inicial, para demostrar que está bien.
Y eso es todo.
