¿Calcular el hessiano y sacar max y min de las funciones!?

z= x^2y+y^2+2x^2-3 saco las raíces y hago el hessiano pero me trabo no se si hago algo mal! Si alguien lo puede hacer para ver q hago mal! Rindo el viernes y necesito saber esto

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Para calcular los máximos y mínimos lo primero debes calcular las derivadas parciales.

$$\begin{align}&z=x^2y+y^2+2x^2-3\\ &z_x =2xy+4x =2x(y+2)=0\\ &z_y = x^2+2y=0\end{align}$$

La parcial respecto a x que he expresado como producto nos dice que los valores que la anulan son x=0 e y = -2.

Vamos a la parcial respecto a y para calcular el otro valor

Si x=0

0^2 + 2y = 0

y=0

Si y=-2

x^2-4=0

x^2=4

x = 2 y -2

Luego los puntos críticos son estos 3:

(0,0)

(2,-2)

(-2,-2)

Ahora calculamos la matriz hessiana:

$$H_z=\begin{pmatrix}
z_{xx}&z_{xy}\\
z_{yx}&z_{yy}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
2y+4&2x\\
2x&2
\end{pmatrix}\\
H_{z(0,0)}=
\begin{pmatrix}
4&0\\
0&2
\end{pmatrix}\;\;H_{z(2,-2)}=
\begin{pmatrix}
0&4\\
4&2
\end{pmatrix}\;\;
H_{z(-2,-2)}=
\begin{pmatrix}
0&-4\\
-4 &2
\end{pmatrix}$$

Ahora la explicación de como determinar si son máximos, mínimos u otra cosa te la han podido enseñar de muchas maneras; desde la más simple,directa y exclusiva para funciones de dos varibles a la más compleja, abstracta y álgebraica que pueda darse. Intentaré aunarlas.

En (0,0) los dos menores principales son positivos,

H1=4

H2=2·4 - 0·0 = 8

luego la matriz es definida positiva y por lo tanto es un mínimo.

En (2,-2) y (-2,-2)

H1=0

H2=-16

En general, si algún menor es cero no se tiene información, pero para dos variables hay un caso particular, si H1=0 y H2<0 es un punto de silla. Puedes verlo aquí:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_hessiana

Luego en resumen:

En (0,0) tienes un mínimo

En (2,-2) y (-2,-2) sendos puntos de silla.

Y eso es todo.

si me sirve mas o menos es lo q hice mi duda q es donde me trabe es como sacar el Zxy o el Zyx q en si dan igual! si podrías responder eso! gracias ya por ayudarme!

Zxy y Zyx son dos de las cuatro derivadas segundas.

Zxy es la derivada parcial respecto a x de la derivada parcial respecto a y.

Como Zy = x^2+2y

ahora hay que derivar respecto a x y da

Zxy = 2x

Análogamente Zyx es la parcial respecto a y de la parcial respecto a x

Como Zx = 2xy +4x

al derivar respecto a y tenemos

Zxy = 2x

Existe el lema de Schwarz que dice que si f:Rn--->Rn es una función de clase C2 en un conjunto abierto U entonces para todo punto de ese abierto U se cumple:

$$\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}(p)=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(p)$$

Por eso coinciden las derivadas segundas en la mayoría de las funciones elementales, cuyas derivadas segundas existen y son continuas

¿Era esto lo que querías?

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