Calcular el determinante aplicando sus propiedades

Usaré estas propiedades.

1. Si se intercambian dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo.

2. Si a una fila/columna se le suma otra fila/columna multiplicada por una constante el determinante no cambia

3. Si toda una fila/columna se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por esa constante.

4. Si la matriz es triangular, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

1+a  1  -1   0
 1  1+a  0  -1
 0  -1  1+a  1
-1   0   1  1+a
Sumo la fila 2ª a la 4ª
1+a  1  -1   0
1   1+a  0  -1
 0   -1  1+a  1
0   1+a  1   a
Intercambio 1ª con 2ª. El signo cambia
1   1+a  0  -1
1+a  1  -1   0
 0   -1  1+a  1
0   1+a  1   a
La 1ª por -(1+a) se suma a la 2ª
1    1+a   0  -1
0 -a^2-2a -1  1+a
 0    -1   1+a  1
0    1+a   1   a
Intercambio columnas 2ª y 3ª
Cambia signo con lo que queda igual
1  0   1+a    -1
0 -1 -a^2-2a  1+a
 0 1+a  -1      1
0  1   1+a     a
Sumo la 2ª por (1+a) a la 3ª
y la 2ª a la 4ª
1  0      1+a            -1
0 -1    -a^2-2a          1+a
 0  0 -1-(a^2+2a)(1+a)  1+(1+a)^2
0 0 1-a-a^2 1+2a

La cosa se ha complicado excesivamente desarrollaremos el determinante por la columna 1 con lo que solo queda el cofactor del elemento 1. Y a su vez este cofactor se calcula sobre la primera columna y solo queda el cofactor de -1

El determinante es:

- [-1-(a^2+2a)(1+a)](1+2a) + [1+(1+a)^2](1-a-a^2) =

Y con paciencia iremos operando

-(-1-a^2-2a-a^3-2a^2)(1+2a) +(1+1+a^2+2a)(1-a-a^2) =

(1+2a+3a^2+a^3)(1+2a) + (2+2a+a^2)(1-a-a^2) =

1 + 2a + 3a^2 + a^3 + 2a + 4a^2 + 6a^3 + 2a^4+ 2 + 2a + a^2 - 2a - 2a^2 - a^3 - 2a^2 - 2a^3 - a^4 =

3 + 4a + 4a^2 + 4a^3 + a^4

Y ese es el determinante.