Demostración de las funciones continuas
Supón que se tiene una colección de subconjuntos de un espacio métrico, Aj (con j en un conjunto de índices J).
1.- Demuestra que para cada r con 0<r<=1 la circunferencia x²+y²=r² es un conjunto conexo R² y concluye que el círculo de radio 1, es conexo.
1 Respuesta
La circunferencia x^2 + y^2 = r^2 es la imagen del intervalo [0,1] mediante la función
f:[0,1] ----> R2
t ----->(r·cost, r·sent)
como [0,1] es conexo y f es continua la imagen de [0,1} es un conexo, luego la circunferencia es un conexo.
Supongamos que el círculo está incluido en la unión de dos abiertos A y B disjuntos. Una circunferencia no puede estar en parte en uno y en parte en otro porque es conexa, luego cada conjunto tendrá integras las circunferencias que contenga.
Uno de ellos (el A) contendrá el punto (0,0) y deberá tener alguna bola de ese punto para ser un abierto. Luego ese conjunto abierto deberá ser:
A = {(x,y) | x^2 +y^2<r^2, para determinado r<1}
Y el otro debe contener la circunferencia de radio r y las de radio mayor y no tener intersección con el primero.
B = {(x,y) | r^2 <= x^2+y^2 <=1} U {otros puntos (x,y) tales que x^2+y^2>1}
Pero entoces B no puede ser un abierto ya que la circunferencia de radio r no es interior a B, cualquier bola con centro en un punto de ella tiene puntos en A que no pueden estar en B.
Y eso es todo.
