Sea f(a) una función definida en todos los números reales tal que f(a+b)=f(a)+f(b). Demostrar

Para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si

0 < |xo - x| < delta se cumpla |f(xo) - f(x)| < epsilon

f(xo) = f[(xo - x) + x] = f(xo-x) + f(x)

luego f(xo) - f(x) = f(xo-x)

|f(xo) - f(x)| = |f(xo-x)|

Luego la demostración que ha quedado es

para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si
0 < |xo - x| < delta se cumpla |f(xo-x)| < epsilon

Llamando h a xo-x queda

para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si
0 < |h| < delta se cumpla |f(h)| < epsilon

Lo cual es equivalente a demostrar que

lim h-->0 f(h) = 0

Hemos reducido la demostración de continuidad en todo R a la demostración que el límite en el 0 es 0

Sea |f(x)| = k

entonces |f(x/2)| = k/2 ya que |f(x)| = |f(x/2) + f(x/2)| = 2|f(x/2)|

y en general |f(x/n)| = k/n ya que |f(x)| = |f(x/n)+f(x/n)+...+f(x/n)| = n|f(x/n)|

Sea S este supremo

S = sup{ |f(x)| para x€(-1,1)

y sea

n = parte entera(S / epsilon) + 1

y sea

delta = 1/n

entonces si

0< |h| < delta = 1/n tendremos

n|f(h)| = |n·f(h)| = |f(nh)|

como |h| < 1/n

-1/n < h < 1/n

-1 < nh < 1

luego

n|f(h)| = |f(y)| con -1 < y < 1

ese conjunto esta incluido en el que hemos extraído el supremo, luego

n|f(h)| <= S

|f(h)| <= S/n = S / [parte entera(S/epsilon) +1] < S / (S/epsilon) = epsilon

Y eso es todo. La demostración ha sido bastante complicada. A lo mejor el libro te sugería otra forma de hacerlo dependiendo de lo que se estudiara en él. Pero como yo no sé que te han enseñado no se me ha ocurrido otra demostración que esta que ya llevaba varios días intentándola sin terminar de darle el toque definitivo.