Calcular volumen de solido de revolución por integrales
Calcula el volumen del solido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado.
$$y=1+1/2 vx de x=0 a x=4 al rededor del eje y$$
1 respuesta
Primero escribo el enunciado que me costó entenderlo
$$y=\frac{1}{2 \sqrt x}\quad\text{de x=0 a x=4 alrededor del eje y}$$Esto es lo que tienes que escribir para que salga.
y=frac{1}{2 sqrt x}\quad\text{de x=0 a x=4 alrededor del eje y}
Y ahora vamos con el ejercicio
Cuando nos dicen que gira alrededor del eje x se integra la función de x entre límites x=a y x=b, si es alrededor del eje y se integra la función de y entre límites y=c y y=d.
Luego vamos a prepararlo bien:
$$\begin{align}&y= \frac{1}{2 \sqrt x}\implies \sqrt x=\frac{1}{2y}\implies x=\frac{1}{4y^2}\\ &\\ &x=0_+\implies y=+\infty\\ &x=4 \implies y=\frac 14\end{align}$$Es una integral impropia, pero es convergente
$$\begin{align}&V=\pi\int_{y_1}^{y_2}[f(y)]^2dy=\\ &\\ &\pi\int^{+\infty}_{\frac 14}\frac{dy}{16y^4}=\frac {\pi}{16}\int^{+\infty}_{\frac 14}y^{-4}dy=\\ &\\ &\\ &\frac {\pi}{16}\left[-\frac{y^{-3}}{3} \right]^{+\infty}_{\frac 14}=-\frac{\pi}{48}\left[\frac{1}{y^3} \right]^{+\infty}_{\frac 14}=\\ &\\ &-\frac{\pi}{48}\left(0-\frac{1}{\frac{1}{64}}\right)=\frac{64\pi}{48}=\frac {4\pi}3\end{align}$$
Gracias, es la primera vez que pregunto y no me exprese correctamente como debería de ser el problema por falta de paréntesis, aquí lo expongo de nuevo, gracias.
$$y=1+(1/2)(sqrtX), x=0 , x=4$$
Ya me extrañaba a mi que saliera una integral impropia, bueno lo hacemos de nuevo.
$$\begin{align}&y=\frac{\sqrt x}{2}\\ &\sqrt x=2y\\ &x=4y^2\\ &\\ &\text{cuando} \\ &x=0\implies y=\frac{\sqrt 0}{2}=0\\ &x=4\implies y=\frac{\sqrt 4}{2}=1\\ &\\ &V=\pi\int_0^1 16y^4dy=\frac {16\pi}{5}y^5|_0^1 = \frac{16\pi}{5}\end{align}$$Y eso es todo.
