Experto valeroasm, la suma será igualada a cero como me mencionaste, el sigo de + no se modifica solo falto el signo de =0 saludos cordiales.
Esta ecuación tiene todas las pintas de homogénea, no creo que sea exacta. Homogénea lo es, ya que es un cociente con todos los términos de grado 4 en el numerador y el denominador.
Respecto a lo de exacta tendríamos:
dy/dx = - y(2x^3-y^3) / [x(2y^3-x^3)]
x(2y^3-x^3)dy = - y(2x^3-y^3)dx
y(2x^3-y^3)dx + x(2y^3-x^3)dy = 0
My = 2x^3 - 4y^3
Nx = 2y^3 - 4x^3
luego no es exacta.
Y por factor integrante mal plan
My - Nx = - 2x^3 - 6y^3
no se ve que eso dividido por M o N de una función de una sola variable
Luego la resolvemos como homogénea con el cambio
u= y/x ==> y=ux
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x +u\\ &\\ &\frac{du}{dx}x +u= - \frac{ux(2x^3-(ux)^3)}{x(2(ux)^3-x^3)}\\ &\\ &\frac{du}{dx}x +u= \frac{2ux^4-u^4x^4}{2x^4u^3-x^4}=\frac{2u-u^4}{2u^3-1}\\ &\\ &\frac{du}{dx}x = \frac{2u-u^4}{2u^3-1}-u=\\ &\\ &\frac{2u-u^4-2u^4+u}{2u^3-1}=\frac{3u(1-u^3)}{2u^3-1}\\ &\\ &\frac{2u^3-1}{3u(1-u^3)}du=\frac {dx}x\end{align}$$Y están poniendo integrales que se salen un poco de lo común. Recordemos que por la igualdad ciclotómica
1-u^3 = (1-u)(u^2+u+1)
$$\begin{align}&\frac{2u^3-1}{u(1-u^3)}= \frac{2u^3-1}{u(u-1)(u^2+u+1)}=\\ &\\ &\frac au + \frac{b}{u-1}+\frac{cu+d}{u^2+u+1}=\\ &\\ &\frac{a(u^3-1)+bu(u^2+u+1)+(cu+d)(u^2-u)}{u(u^3-1)}\\ &\\ &2u^3-1=a(u^3-1)+bu(u^2+u+1)+(cu+d)(u^2-u)\\ &\\ ¶\; u=0\\ &-1 =-a \implies a=1\\ ¶\;u=1\\ &1=3b \implies b=\frac 13\\ ¶\; u=-1\\ &-3=-2-\frac 13-2c+2d\implies 2c-2d=\frac 23\\ ¶ \;u=2\\ &15 =7+\frac {14}{3}+4c+2d\implies 4c+2d=\frac{10}{3}\\ &\\ &\text{haciendo la suma}\\ &6c = \frac {12}3 \implies c= \frac 23\\ &\\ &\frac 83 + 2d = \frac{10}{3}\\ &\\ &2d = \frac 23\implies d=\frac 13\\ &\\ &\int \frac{2u^3-1}{u(u^3-1)}du = lnu+ \frac{ln(u-1)}{3}+\int \frac{\frac {2u}3+\frac 13}{u^2+u+1}du=\\ &\\ &lnu+ \frac{ln(u-1)}{3}+\frac{ln(u^2+u+1)}{3}\\ &\\ &\text{no olvidemos que nos dejamos 1/3 para facilitar la integral}\\ &\\ &lnu+ \frac{ln(u-1)}{3}+\frac{ln(u^2+u+1)}{3}\\ &\\ &\frac{lnu}{3}+\frac{ln(u-1)}{9}+\frac{ln(u^2+u+1)}{9}=lnx+lnC\\ &\\ &ln\left(\sqrt[9]{u^3(u-1)(u^2+u+1)}\right)=ln\;Cx\\ &\\ &\sqrt[9]{u^3(u-1)(u^2+u+1)}=Cx\\ &\\ &u^3(u-1)(u^2+u+1)= Cx^9\\ &\\ &\frac{y^3}{x^3}\left(\frac yx-1\right)\left(\frac{y^2}{x^2}+\frac yx+1\right)=Cx^9\\ &\\ &y^3(y-x)(y^2+xy+x^2)=Cx^{15}\end{align}$$No te puedo asegurar nada, me he podido confundir en mil sitios, revísala bien.
