(8.19)
Recordemos del ejercicio anterior que la función de densidad para el mínimo de n muestras es:
g(y) = n(1-F(y))^(n-1) · f(y)
Calculemos F(y)
$$F(y) =\int_0^y \frac{e^{-x/\theta}}{\theta}dx=\left[-e^{-x/\theta}\right]_0^y=1-e^{\;y/\theta}\\ \\ \\ g(x)=n[1-(1- e^{-y/\theta})]^{n-1}·\frac{e^{-y/\theta}}{\theta}=\\ \\ \frac{ne^{(n-1)y/\theta}·e^{-y/\theta}}{\theta}=\frac{ne^{-ny/\theta}}{\theta}\\ \\ E(\widehat{\theta})=E(nY_{(1)}) = \frac{n^2}{\theta}\int_0^{+\infty}ye^{-ny/\theta}dy=\\ \\ u=y \implies du = dy\\ dv=e^{-ny/ \theta}dy\implies v =-\frac{\theta e^{-ny/\theta}}{n}\\ \\ =\frac{n^2}{\theta}\left(\left[ -\frac{y \theta e^{-ny/\theta}}{n} \right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty} \frac{\theta e^{-ny/\theta}}{n}dy \right)=\\ \\ \frac{n^2}{\theta}\left( 0-\left[ \frac{\theta^2e^{-ny/\theta}}{n^2} \right]_0^{+\infty}\right)=\frac{n^2}{\theta}·\frac{\theta^2}{n^2}=\theta\\ \\ \text{Luego sí, }\widehat{\theta}\text{ es un estimador insesgado de }\theta$$Yo pensaba que la sugerencia era para calcular el MSE y no la había mirado. Si lo hubiera hecho esta parte primera era directa ya que el 6.81 decía que la media del mínimo de distribuciones exponenciales independientes e igualmente distribuidas con media beta para cada una de ellas, es beta/n. En este caso la media es theta, luego la media de la mínima es theta/n, luego la media de del estimador n por mínima es n(theta/n) = theta.
El MSE tiene dos fórmula útiles, la primera suele servir para distribuciones desconocidas y la segunda suele servir para distribuciones de las que conocemos la varianza, en este caso nos servirá esta segunda forma.
$$\begin{align}&MSE(\widehat{\theta})=V(\widehat{\theta})+[B(\widehat{\theta})]^2\\ &\\ &\text{El sesgo ya se calculó que era nulo.}\\ &\\ &MSE(\widehat{\theta})=V(\widehat{\theta})=V{(nY_{(1)}})=n^2V(Y_{(1)})\\ &\\ &Y_{(1)}\text { es una exponencial de media }\frac{\theta}{n}\\ &\\ &\text{y la varianza de una exponencial es la media al cuadrado}\\ &\\ &MSE(\widehat{\theta})=n^2 \frac{\theta^2}{n^2}= \theta^2\\ &\end{align}$$En el libro se ha armado un lío con el beta y el theta y ha puesto uno en lugr del otro. Debe ser porque en el ejercicio 6.81 era beta la media de la exponencial.
Y eso es todo.
