Hallar los números complejos z tal que z^2=z(conjugado de z)

Hallar los números complejos z tal que z^2=z(conjugado de z)

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1

El número z será

a+bi

y debe cumplirse

(a+bi)^2 = a - bi

a^2 + 2abi + b^2·i^2 = a - bi

a^2-b^2 + 2abi = a -bi

Deben ser iguales las partes reales e imaginarias

a^2-b^2 = a

2ab=-b

de la segunda se deduce

2a=-1

a=-1/2

y ahora vamos a la primera

1/4 - b^2 = -1/2

b^2 = 1/4+1/2 = 3/4

b = +- sqrt(3) / 2

Luego son dos respuestas

z1 = -1/2 + sqrt(3)/2

z2 = -1/2 - sqrt(3)/2

En forma polar son los números de módulo 1 y ángulos 120º y 240º

Y eso es todo.

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