III. Sistema Masa-resorte ecuaciones

El resorte ejerce una fuerza proporcional al estiramento y en sentido contrario. La gravedad ejerce una fuerza constante siempre hacia abajo y el medio viscoso ejerce una fuerza constante proporcional a la velocidad en sentido contrario.

Y el sumatorio de las fuerzas debe ser la masa por la aceleración.

Sea y la función de estiramiento del resorte, y=0 en el punto donde el resorte sin ningún peso está en posición de reposo. La velocidad es la derivada de y, y la la aceleración la derivada segunda.

Entonces la ecuación diferencial será:

$$\begin{align}&-mKy -mBy'-9.8m= my''\\ &\\ &y''+By'+Ky=-9.8\\ &\\ &\text{Para los datos impares será}\\ &\\ &y'' + 4y' + 20y=-9.8\\ &\\ &\text{Las raíces de la ecuación característica son}\\ &\\ &k^2+4k+20=0\\ &\\ &k=\frac{-4\pm \sqrt{16-80}}{2}= -2\pm 4i\\ &\\ &\text{La solución deneral de la homogénea es}\\ &y_{gh}=e^{-2t}(C_1·\cos 4t+C_2sen 4t)\\ &\\ &\text{Y una solución particular de la completa es}\\ &\text{muy sencilla, tomemos }\\ &y_{pc}= A\\ &y_{pc}'=0\\ &y_{pc}''=0\\ &\\ &20A=-9.8\\ &A =-\frac{9.8}{20}= 0.49\\ &\\ &\text{Luego la solución general de la completa es}\\ &\\ &y=y_{gh}+y_{pc}=e^{-2t}(C_1·\cos 4t+C_2·sen\, 4t)-4.9\end{align}$$

Calculemos las contantes a partir de los datos iniciales que nos dan. Cuidado, hay que pasarlo todo a metros ya que en la fuerza de la gravedad la constante g era g=9.8m/s^2

Luego serán

y(0)=-0.02 m

ya que decían que se había estirado hacia abajo, ese estiramiento es negativo

y'(0) = 0.2 m/s

Aquí no han dicho hacia donde va la velocidad y puede haber un lio, ya que la ponen con signo + consideraré que es hacia arriba, y si no que se expliquen mejor.

Sustituyendo t=0 el la solución general tendremos

-0.02 = C1 - 4.9

C1 = 4.88

Ahora derivamos la solución general

$$\begin{align}&y'=-2e^{-2t}(C_1·\cos 4t+C_2 sen 4t)+\\ &e^{-2t}(-4C_1·sen\, 4t+4C_2cos 4t)\\ &\\ &y'=e^{-2t}[(-2C_1+4C_2)\cos 4t-(4C_1+2C_2)sen 4t]\\ &\\ &Sustituyendo\; t=0\\ &\\ &y'(0)=0.2=-2C_1+4C_2\\ &0.2=-2·4.88 + 4 C_2\\ &0.2= -9.76+ 4C_2\\ &9.96=4C_2\\ &C_2=2.49\\ &\\ &\text{Luego la función definitiva de posición es:}\\ &y(t)=e^{-2t}(4.88cos 4t+2.49sen\, 4t)-4.9\\ &\\ &\text{Y la velocidad}\\ &\\ &v(t)=y'=e^{-2t}[(-2·4.88+4·2.49)\cos 4t-(4·4.88+2·2.49)sen 4t]\\ &\\ &v(t)=e^{-2t}(0.2cos 4t -24.5sen\,4t)\end{align}$$

Tener en cuenta que y va ahora medida en metros y v en m/s

Y esto es todo lo que puedo hacer de momento. Son muchas preguntas y está me ha dejado exhausto y tengo que dejarlo. Espero no haberme equivocado, es fácil que haya tenido algún fallo.

Si quieres que haga las otras partes puntúa esta y manda preguntas nuevas