Demostrar si es linealmente independiente.
hola valeroasm! Tengo una ultima demostración sobre esto de la independencia lineal
Demostrar que si {v1,v2} es linealmente independiente y v3 no esta en el gen {v1,v2}, entonces {v1,v2,v3} es linealmente independiente.
de nuevo gracias.
1 Respuesta
valeroasm la definición que se de independencia lineal es esta:
Supongamos que no son linealmente independientes. Entonces existen escalares t1, t2 y t3 con alguno no nulo tal que
t1·v1 + t2·v2 + t3·v3 = v0
Donde v0 es el vector nulo
Podemos operar y dejarlo como
t3v3 = -t1·v1 - t2·v2
Si t3=0 tendríamos
-t1·v1 - t2v2 =v0
y por ser linealmente independientes sería t1=0 y t2=0
luego t1=t2=t3=0 serían linealmente independientes, lo cual es absurdo porque habíamos supuesto que no eran independientes.
Luego t3 debe ser distinto de 0. Y entonces existe inverso de t3 y podemos multiplicar por él en los dos lados de la igualdad
v3 = (1/t3)(-t1v1 - t2v2) = (-t1/t3)v1 + (-t2/t3)v2
Con lo cual hemos expresado t3 como una combinación lineal de v1 y v2, pero esto es absurdo porque el enunciado decía que v3 no pertenecía a gen{v1, v2}
Luego la suposición de que son linealmente dependientes es falsa y por lo tanto son linealmente independientes, tal como dice el enunciado.
Y eso es todo.
