Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función
$$f(x)= x^3-4x^2+3x$$
el eje de abscisas y las rectas x=-1 y x=3
$$solucion: \frac{37}{6} u^2$$
1 Respuesta
Nos han puesto un intervalo donde cambian de signo la función, ya lo he visto porque en el cero cambia.
Vamos por tanto a calcular primero las raíces del polinomio
La x=0 es inmediata, ahora dividimos entre x
x^2 - 4x + 3 = 0
La x=1 se ve inmediatamente
Y la x=3 es la otra porque su producto debe ser 3.
Entonces tomando el intervalo de integración vemos que hay cambio de signo en x=0 y =1. El x=3 ya pilla en la esquina y no hay que hacer nada especial con el
Entonces debemos evaluar la integral indefinida en estos tres intervalos
[-1,0], [0,1] y [1,3]
Y sumar los valores absolutos de lo que nos dé
La integral indefinida es inmediata, es
(1/4)x^4 - (4/3)x^3 + (3/2)x^2
En [-1,0] es
0 - 1/4 - 4/3 - 3/2 = (-3 -16-18)/12 = -37/12
En [0,1] es
1/4 - 4/3 + 3/2 = (3-16+18)/12 = 5/12
En [1,3] es
81/4 - 36 + 27/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2 =
(243 - 432 + 162 - 3 + 16 -18)/12 = -32/12
y finalmente sumamos lo s valores absolutos
37/12 + 5/12 + 32/12 = 74/12 = 37/6 u^2
Y eso es todo.
