Demostración de complejos.

Hallar todos los complejos Z, Z distinto de 0 , que verifiquen -Z = Z^(-5)

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1

-z = z^(-5)

multiplicamos por z^5

-z^6 = 1

z^6 = -1

Luego debemos hallar las raíces sextas de -1 que son 6.

La forma fácil de hacerlo es con el número en forma polar que tendrá módulo 1 y ángulo 180º

Entonces la primera raíz se obtiene sacando la raíz sexta del módulo y dividiendo el ángulo entre 6.

Eso nos da el número de módulo 1 y ángulo 30º.

Y las siguientes se obtienen sumando a la anterior la sexta parte de los 360º de la circunferencia. Las raíces con módulo y ángulo son

1, 30º

1, 90º

1,150º

1, 210º

1, 270º

1, 330º

Que si quieres podemos poner en binomial por si te lo piden así.

$$\begin{align}&r_1=1_{30º}=cos30+i·sen30=\frac{\sqrt 3}{2}+\frac i2\\ &r_2=1_{90º}=i\\ &r_3=1_{150º}=-\frac{\sqrt 3}{2}+\frac i2\\ &r_4=1_{210º}=-\frac{\sqrt 3}{2}-\frac i2\\ &r_5=1_{270º}=-i\\ &r_6=1_{330º}=\frac{\sqrt 3}{2}-\frac i2\end{align}$$

Y eso es todo.

una consulta, por que solo se saca las raíces de -1 y no 1? son las conjugadas?

Saco las de de -1 porque eso es lo que me pide la ecuación

-z = z^(-5)

-z^6 = 1

z^6 = -1

z = (-1)^(1/6)

Si la ecuación hubiera sido

z = z^(-5)

z^6 = 1

z= (1)^(1/6)

Y entonces habría calculado las raíces de 1.

No, las raíces de 1 no son precisamente las conjugadas de las raíces de -1. Fijate que las raíces de -1 están conjugadas dos a dos entre sí, luego los conjugados de las raíces de -1 son ellas mismas.

Y eso es todo.

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