Hipótesis simple y compuesta.
Resuelve el problema de
acuerdo a los conceptos de Hipótesis simple y compuesta.
El director de una universidad asegura que la edad promedio en la cual los estudiantes se
matriculan e ingresan al primer grado es de 20 años cumplidos. Se realiza un estudio estadístico sobre la edad promedio en años cumplidos que tienen los estudiantes al ingresar a la universidad. Se toma una muestra aleatoria, los datos se reportan en la siguiente tabla:
Alumno
Juan
Pedro
María
Nicolas
aida
juana
carlos
tomas
ricardo
sebastián
ulises
raymndo
martin
jcarlos
jose
eduardo
julio
jcesar
nicolas
saul
raul
marcos
julia
olivia
juliana
ana
maría
lupe
rosario
cesar
edad
19
18
17
21
23
21
22
23
19
22
17
18
19
21
20
22
23
24
19
23
18
19
18
23
21
19
25
24
18
19
Cada dato de la edad corresponde en ese orden a cada nombre, no pude insertar la tabla bien.
Si el director de la universidad formula la hipótesis H0: µ= 20
¿Se cumplirá la hipótesis realizada por el director de la universidad?
1 Respuesta
Necesitamos conocer la media y desviación estándar muéstrales, asi que he pasado el enunciado a una tabla de Excel
El número de datos es 30, estamos justo en el tamaño que nos permite usar la distribución normal para hacer los cálculos en lugar de la t de Student que es menos bonita por decir algo.
La suma de los Xi es 615, luego la media muestral es 20,5
La suma de los (Xi)^2 es 12763
Con ello calculamos la varianza poblacional
V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 12763/30 - 20.5^2 = 425.43333 - 420.25 = 5.083333...
Y la varianza muestral se obtiene multiplicando por 30 y dividiendo entre 29
S^2 = 5.0833333 · 30 / 29 = 5.25862069
S = sqrt(5.25862069) = 2.293168265
Ya tenemos los datos que necesitamos.
La hipótesis nula es
H0: mu = 20
Se considera que la hipótesis alternativa es
Ha: mu distinto de 20
Eso significa que es un problema a dos colas. Y hay que repartir el tanto por ciento de cola que nos dejan entre la derecha y la izquierda.
Normalmente se toma un nivel de confianza de 95%, queda el 5% para las colas y como son 2 colas es el 2.5% en cada lado, que es mejor manejarlo en su forma numeral 0.025
Los valores cuya probabilidad es 0.025 y 0.975 son los puntos de rechazo. Buscando en la tabla obtenemos 1.96 luego son -1.96 y 1.96.
Esos valores no son números absolutos sino el número de desviaciones estándar de la variable media muestral que se admiten en torno a la hipótesis de la media
La desviación estándar de la media muestral es
S/sqrt(n) = 2.293168265 / sqrt(30) = 0.418673329
Y el punto de rechazo inferior será
20 - 1.96 · 0.418673329 = 19.1794
y el superior
20 + 1.96 · 0.418673329 = 20.8206
Como 20.5 esta dentro del intervalo no se puede rechazar. Luego la hipótesis del director es cierta.
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Según los libros te lo explican de formas diversas. Por ejemplo con los estadísticos de prueba. Para esta prueba de hipótesis el estadístico de prueba es
$$\begin{align}&z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{S}{\sqrt n}}\\ &\\ &z=\frac{20.5-20}{\frac{2.293168265}{\sqrt {30}}}=1.194248512\end{align}$$Y es estadístico se compara con -1.96 y 1.96, como está entre los dos no se puede rechazar H0
Y eso es todo.
