Polinomio de Taylor con dos incógnitas

Respuesta de
mikel1970
a
Usuario
Hola expertos, quisiera saber como se resuelve el polinomio de taylor con dos incógnitas como así también la fórmula. Desde ya muchas gracias
Experto
Para dos variables la fórmula es similar, aunque hay que hacer combinaciones de derivadas parciales

Una variable

f(x)=f(xo)+f'(xo)*(x-xo)+1/2!*(x-xo)^2+1/3!*f'''(xo)*(x-xo)^2+...

Dos variables

f(x,y)=f(xo,yo)+[Dxf(xo,yo)*(x-xo)+Dyf(xo,yo)(y-yo)]+1/2!*[Dxxf(xo,yo)*(x-xo)^2+2Dxyf(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)+Dyyf(xo,yo)*(y-yo)^2]+1/3!*[Dxxxf(xo,yo)*(x-xo)^3+3*Dxxyf(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)+3*Dxyyf(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^2+Dyyyf(xo,yo)*(y-yo)^3]+....

Como aprecias el término de las derivadas es un binomio de Newton de las parciales respecto a por e y

Veamos un ejemplo desarrollando una función en el origen xo=0, yo=0, con lo que

f(x,y)=f(0,0)+[Dxf(0,0)*x+Dyf(0,0)*y]+1/2!*[Dxxf(0,0)*x^2+2Dxyf(0,0)*x*y+Dyyf(0,0)*y^2]+1/3!*[Dxxxf(0,0)*x^3+3*Dxxyf(0,0)*x^2*y+3*Dxyyf(0,0)*x*y^2+Dyyyf(0,0)*y^3]+....

Sea

f(x,y)=e^(x+y)
En tal caso todas las derivadas parciales son iguales

Dx=Dy=Dxx=Dyy=Dxxx=Dxxy=Dyyy=...=e^(x+y)

Con lo que

Df(0,0)=e^0=1

y nos quedará

e^(x+y)=1+(x+y)+(1/2)*(x^2+2*x*y+y^2)+(1/6)*(x^3+3*x^2*y+3*x*y^2+y^3)

Espero que te sirva. Hay algo en

http://www.uv.es/~anamat/practicas/nutric3.pdf